极坐标与参数方程的解题策略

袁娟 于真灵

近几年高考数学全国卷中的极坐标与参数方程，通常与直线方程、网的方程、网锥曲线等知识相结合，考查极坐标与参数方程的应用、数形结合的思想方法以及考生的运算求解能力.

题型1：把极坐标方程化成直角坐标方程，把参数方程化成普通方程

例1 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.

（Ⅰ）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程.

（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标.（ρ≥0，0≤θ<2π）

解题规律 若只是涉及简单的坐标互化，将方程互化；若涉及两圆外切、内切问题，往往先把曲线的极坐标方程化成直角坐标方程，参数方程化成普通方程，转化为常规问题处理.

题型2：利用极坐标中ρ的几何意义设题

例2 在平面直角坐标系xOy中，网C₁的参数方程为

（t为参数），圆C₂与圆C₁外切于原点O，且两圆圆心的距离|C₁C₂|=3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求圆C₁和网C₂的极坐标方程.

（Ⅱ）过点O的直线l₁，l₂与圆C₂异于点O的交点分别为点A和点D，与圆C₁异于点O的交点分别为点C和点B，且l₁⊥l₂，求四边形ABCD面积的最大值.

解 （Ⅰ）由圆C₁的参数方程{x=-1+cost，

y=sint （t为参数），可得（x+1）₂+y₂=1，所以点C₁的坐标为（-1，0），r₁=1.由圆C₂与圆C₁外切于原点O，且两圆圆心的距离|C₁C₂|=3，可得点C₂的坐標为（2，0），r₂=2，则圆C₂的方程为（x-2）₂+y₂=4.

由{x=ρcosθ，

y=ρcosθ，可得网C₁的极坐标方程为ρ：-2cosθ，网C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ.

（Ⅱ）由已知可设点A的坐标为（ρ₁，θ），则由l₁⊥l₂，可得点B的坐标为（ρ₂，θ+π/2），点C的坐标为

解题规律 当涉及距离问题时，如果题中给出的是极坐标方程，用常规方法不好处理时，常常想到利用极坐标中ρ的几何意义：极坐标系的点P（ρ，θ）中的ρ表示点P与点O之间的距离|OP|，即|OP|=ρ.

题型3：利用直线的参数方程中的几何意义设题

例3 已知曲线C₁的参数方程为（t为参数，0≤α<π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为

（I）若极坐标为

的点A在曲线C₁上，求曲线C₁与曲线C₂的交点坐标.

（Ⅱ）若点P的坐标为（-1，3），且曲线C₁与曲线C₂交于B，D两点，求|PB|·|PD|.

解 （Ⅰ）点

对应的直角坐标为（1，1）.由曲线C₁的参数方程，可知曲线C₁是过定点（-1，3）的直线，故曲线C₁的直角坐标方程为x+y-2=0，而曲线C₂的直角坐标方程为x₂+y₂-2x-2y=0.联立方程得

故曲线C₁与曲线C₂的交点坐标分别为（2，0）和（0，2）.

（Ⅱ）由判断可知点P在C₁上，将代入方程x₂+y₂-2x-2y=0，可得t₂-4t（cosα-sinα）+6=0.设点B，D对应的参数分别为t₁，t₂，则|PB|=|t₁|，|PD|=|t₂|.又t₁t₂=6，所以|PB|·|PD|=|t₁|·|t₂|=|t₁t₂|=6.

解题规律 当涉及距离问题时，如果题中给出的是直线或直线的参数方程，用常规方法不好处理时，常常想到利用直线的参数方程（t为参数）中t的几何意义，即|t|=|P₀P|.使用该直线的参数方程时，直线上任意两点P₁，P₂对应的参数分别为t₁，t₂，则：①|P₁P₂|=|t₁-t₂|；②线段P₁P₂的中点对应的参数为1/2（t₁+t₂）.