浅谈数学中导数的学习策略

金炳泉

摘 要：导数是高中数学非常重要的一部分内容，是高考时容易出题的考点，在总成绩中占的分值很大。由于相关的知识点较多，难度相对较大，所以在解决导数问题时，许多同学有些解题策略不当。本文对导数的几何意义，导数在研究函数中的应用，如单调性、极值以及最值等问题进行了分析，总结了相应的学习方法和策略。

关键词：高中数学；导数；解题策略；函数

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）19-0239-02

导数是高中数学（人民教育出版社B版）选修2-2第一章《导数及其应用》的内容，既是对所学习的函数的应用，又为后续学习定积分和微积分的基本知识打下基础。而且导数这部分知识是高考时容易出题的考点，在总成绩中占的分值很大，这就决定了导数知识在高中数学学习过程中是非常重要的。并且因为相关的知识点比较多，学习难度相对较大，所以在解决导数问题时，许多同学有些解题策略不当。在导数这一部分中，主要考点有导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，考查运算能力和逻辑推理能力，主要包括：利用曲线上一点的切线的斜率是该点处导函数值，结合给定条件求出切线方程（导函数的函数值等语言函数的图像在该点处的切线的斜率）；通常利用导数研究函数的单调性、极值、最大值和最小值。

学习这部分内容最忌讳的就是盲目地实行题海战术，因此，我对此部分相应的学习方法和策略进行了总结。

1 加深对导数几何意义的理解

加深对导数的几何意义的理解，主要是明确切点是联系切线和曲线的纽带。在求切线问题上，要注意“过”某一点求切线和“在”某一点求切线的解法不同。例如，设曲线方程为，则过某一点M（）（非切点）的切线方程的求法：（1）设点代入：设切点为P（），则；（2）列斜率：切线斜率P（），则；（3）解方程：化简上述方程，得到关于的一元方程，求解；（4）求切线：确定的一元方程，利用点斜式得到切线方程。

2 利用导数判断函数的单调性

单调性是函数的核心性质。“原函数看单调，导函数看符号”。运用导数研究函数的单调性，是把函数单调性的判断转化为其导函数的符号的判定，再转化为导函数的零点的研究。

2.1 导数的正负性和函数的单调性之间的关系

（1）利用导数来解决函数的单调区间时，写成开区间就可以，并一定要写定义域。（2）关于解导数的不等式问题，可以采取令或令来解，解题之前先观察一下，导数是不是恒正或恒负的，若是恒正或恒负，就没必要再进行讨论。（3）如若遇到不太好解的不等式，令，然后再列表分析导数的正负性，这也算是一个很好的方法。

2.2 利用导数研究函数单调性的基本步骤

（1）确定函数的定义域，尤其注意其隐含定义域，如含的函数（的定义域是）；（2）求导数，并整理；（3）判定，求导数的零点；（4）列表，定号；（5）写出函数的单调性，如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，则这些单调区间中间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”隔开。

2.3 研究已知函數的单调性，求参数的范围

（1）在利用导数求单调增区间时，可以令来解决问题的；但已知函数在区间D上为增函数时，应得到在区间D上恒成立，而不是；（2）对于为二次型函数时，要关注二次项系数是否为0的讨论；若这个二次型导数能够因式分解，则采用数形结合的方式讨论更为简单；（3）若参数是孤立存在的，可以尝试参变量分离方法求解。

2.4 导数中的分类讨论

关于导数中的分类问题，许多同学表示听不懂，搞不清面对老师的讲解，有些发懵。

其实，导数的分类讨论还是有规律可循的。它主要分两种情况：（1）是特殊函数的导数，自带无负性的光环，如，，这三种情况碰到含参数的问题，是极易出错的。（2）是导数为二次型的，需要比较两根的大小，开口方向，定义预设卡等等。

例如：函数的单调区间

解题思路：首先确定函数的定义域（），求的导数为，当时，导数大于零在R上恒成立，函数一定时单调递增的，当时，画导数图形的草图，在（）单调递增，在（）单调递减，列出表格呈现出来，最后要综上作答。

有一些题的解题方法差不多，此类问题主要包含以下几种，， （限于函数本身的定义域），他们的分类讨论主要集中在导数本身的特征是大于零的。

利用导数研究函数单调性问题中的难点，即分类讨论问题中的常用讨论点：（1）导函数是否存在零点，如无零点，有不变号零点，有变号零点；（2）导数存在变号零点的情况下，应讨论导函数的零点与定义域的关系，导函数零点的大小，参数对符号判定的影响，如系数。

2.5 导数中函数单调性的应用

（1）对于导数，很多人习惯上令，实际上，这种做法是不对的。应该优先判断是否恒正或恒负，此时不需要令的。在确实有正有负的情况下，再令，这个思想对于含参数问题，还有定义域不是全体实数的问题，尤其重要。

例如：，，若恒成立，求m的取值范围。

解题思路：首先根据题意≥，分离出m，即≥，只要求的最小值就可以了。此时令，求导得到，令，可以得出。列表，可以得到是减的，（）是增的，先减后增，最小值就可以得出，从而求得m的取值范围为。

（2）在分析如何利用导数来证明不等式时，首先采用构造新函数思想，通过导数，分析函数的单调性，进而求出函数的最值，最后得出不等关系；其次要注意对数函数lnx，它的导数是1/x，定义域是{x|x>0}，如果证明的不等式当中含有lnx，可以通过等价转化，将lnx孤立出来，比如不等式当中含有xlnx或lnx/x等，这种结构求完导后，lnx依然存在，对后面的分析带来麻烦，不如将和lnx乘（除）在一起的部分等价转化掉，使lnx独立出来，往往得到的新的不等式比较好证明。

例如：已知函数，求证，若 。

解题思路：将不等式移项得到 ，即只需证明此不等式在时成立即可。设，则在上恒成立。所以在上是增函数，的最小值在处取得。所以当时，。所以时，，即原不等式成立。

3 利用导数研究函数的极值与最值

3.1 研究函数的极值

首先要明确极值和极值点的概念，清楚极值是个局部最值的意思，极值的定义是和导数无关的；在利用导数可以求函数极值，是因为一般研究的都是可导函数，对可导函数而言，导数的变号零点才是极值点产生的地方；需要注意极值解答题的书写要规范，其中极值点是自变量的值，它是数，不是点；从函数来讲，是为函数极值点的必要不充分条件，为函数极值点的充要条件是为导数的变号零点。

3.2 研究闭区间上函数求最值问题

对于极值的属性，需进一步加以分析，不能盲目自大；闭区间上连续函数求最值问题，若是单调性发生转变太多，可以采用先求闭区间端点函数值，以及使导数等于0点处的函数，比较出最值即可；若是函數单调性转折次数不超过一次，最好还是采用单调性分析好一些。如函数先减再增，求闭区间上最大值问题（函数先增再减，求闭区间上最小值问题），可以采用作差比较法得出，不需要分很多类。需要说明的是给定函数的区间必须是闭区间，函数在开区间上虽然连续，但是不能保证有最大值和最小值；在闭区间上的每一点必须连续，即若在闭区间上有间断点，也不能保证函数有最大值或最小值。在求可导函数的最值时，不需对各导数为0点进行讨论其是最大值点还是最小值点，只需将导数为0点和端点处的函数值进行比较即可。

函数的极值与最值是运用导数研究函数性质。运用导数研究函数的极值与最值的关键是导函数零点的确定，特别是“变号零点”的确定，即“导函数定正负，变号零点找出路”，要关注如果导数的零点不能求出时，如何“设而不求”；同时由于极值（最值）的定义，在含参问题分类讨论时，需要注意极值（最值）问题的分类讨论标准的变化，如极大值（极小值）之间大小的变化。综上所述，在学习过程中，要灵活应用上述方法。

4 结语

导数知识在高中数学中占有很重要的位置，不仅起到承上启下的作用，并且在高考中占有很大的分值。在平时的学习中应重视导数部分的学习，注重总结归纳，找到有效的解题思路和学习方法。

参考文献

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