再谈拉格朗日中值定理的应用

摘 要： 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一。巧用拉格朗日中值定理除了可以进行等式的证明、函数的单调性与零点的探究外，还可以证明不等式、求参数的取值范围、求极限等。其中不等式的证明，求参数的取值范围是高考复习的重点内容，本文通过巧用拉格朗日中值定理证明不等式、求解参数的取值范围，使我们感受到拉格朗日中值定理的使用价值、事物之间的内在联系与和谐统一。

关键词： 再谈；拉氏定理；应用

拉格朗日中值定理又称之为拉氏定理，巧用拉氏定理的关键是构造辅助函数，构造辅助区间。拉格朗日中值定理是研究函数的重要工具，是联系函数与导数的纽带，巧用拉氏定理可以解决不等式证明、求解参数的取值范围等许多数学问题，因此拉格朗日中值定理在数学学习中具有很重要的应用价值。

一、 巧用拉氏定理证明不等式

例1已知x>0，求证： x 1+x

证明： 构造辅助函数f（x）=ln（1+x），于是函数f（x）=ln（1+x）在闭区间[0，x]上连续，在开区间（0，x）内可导，于是依据拉氏定理在开区间（0，x）内至少存在一点ξ（0<ξ

又因为f（x）=ln（1+x），f（0）=ln1=0，f′（x）= 1 1+x ，f′（ξ）= 1 1+ξ ，所以ln（1+x）= x 1+ξ ；

又因为0<ξ

点评： 本例中，通过构造辅助函数与辅助区间，根据所要证明的不等式的结构特征，建立了和拉格朗日中值定理相联系的桥梁，最后利用放缩法完成了证明。这不但充分体现出拉氏定理解决数学问题的价值所在，而且也充分体现出拉氏定理与其他数学知识的完美交汇，淋漓尽致地展现出拉氏定理的数学之美。

二、 巧用拉氏定理求参数的取值范围

例2已知函数f（x）=ex-e-x，对任意的x≥0，都有f（x）≥ax成立，请你求出实数a的取值范围。

解： 当x=0时，f（x）≥0，ax=0，不论a取何值，f（x）≥ax恒成立；

当x>0时，f（x）≥ax等价于a≤ f（x） x ，问题转化为a≤ ex-e-x x 对任意x>0恒成立。

函数f（x）=ex-e-x在闭区间[0，x]上连续，在开区间（0，x）内可导，

所以函数f（x）=ex-e-x满足拉氏定理的条件，

从而根据拉氏定理在开区间（0，x）内至少存在一点ξ（0<ξ

又因为f（x）=ex-e-x，f（0）=e0-e-0=1-1=0，f′（x）=ex+e-x，f′（ξ）=eξ+e-ξ，

所以ex-e-x=x（eξ+e-ξ），即eξ+e-ξ= ex-e-x x ，

当ξ→0时，eξ+e-ξ→2，当ξ>0时，根据均值不等式有eξ+e-ξ>2，

于是 ex-e-x x >2，所以a≤2；

综上所述，实数a的取值范围为（-∞，2]。

点评： 该例中，当x>0时，利用转化的数学方法，把问题转化为确定函数y= ex-e-x x 的值域下界的问题。通过构造辅助区间，根据拉氏定理，巧妙地确定出函数y= ex-e-x x （x>0）的值域下界就是函数y=ex+e-x（x>0）值域下界。最后利用极限思想和均值不等式求出了函数y=ex+e-x（x>0）值域下界，最终实现了利用拉氏定理求参数的取值范围的目的，凸显综合性。

三、 巧用拉氏定理求极限

例3求极限lim x→0 （2x+3） ex-esinx x-sinx 。

解： 当x>sinx时，构造辅助区间为[sinx，x]，当sinx>x时，构造辅助区间[x，sinx]，再构造一个辅助函数f（x）=ex。

当x>sinx时，函数f（x）=ex在闭区间[sinx，x]上连续，在开区间（sinx，x）内可导，当sinx>x时，函数f（x）=ex在闭区间[x，sinx]上连续，在开区间（x，sinx）内可导，

于是函数f（x）=ex满足拉氏定理的条件，

从而据拉格朗日中值定理在x与sinx之间一定存在一点ξ，使得 f（x）-f（sinx） x-sinx =f′（ξ）；

又因为f（x）=ex，f（sinx）=esinx，f′（x）=ex，f′（ξ）=eξ，

所以 ex-esinx x-sinx =eξ；

因为ξ介于x与sinx之间，

所以当x→0时，sinx→0，ξ→0，

因此lim x→0 ex-esinx x-sinx =lim ξ→0 eξ=1。

综上所述，lim x→0 （2x+3） ex-esinx x-sinx =lim x→0 （2x+3）·lim x→0 ex-esinx x-sinx =3·

lim x→0 ex-esinx x-sinx =3lim ξ→0 eξ=3。

點评： 解答本例的关键之处是根据代数式的结构特征，巧妙地构造辅助函数与辅助区间，恰当合理的利用了拉氏定理，实现了极限的求解，变形的目标在于凑出形式类似于拉氏定理的式子。本例不但有力地说明拉氏定理的应用灵活性，而且也有力地说明事物之间的内在联系和完美统一。

拉格朗日中值定理是联系函数及其导数之间关系的纽带，是解决函数在某一点的导数的重要数学工具。利用拉格朗日中值定理除了可以进行等式的证明、函数的单调性与零点的探究外，还可以证明不等式、求参数的取值范围、求极限等。巧用拉格朗日中值定理的关键之处在于依据拉格朗日中值公式构造出辅助函数，构造出辅助区间，这对于进一步学习数学知识具有重要的意义，让我们明白了事物之间的内在规律和辩证统一，让我们科学的看世界。

作者简介： 郑有礼，甘肃省武威市，甘肃省天祝县第二中学。