圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用分析

摘 要： 圆锥曲线参数方程作为高中数学中的重点知识内容之一，在数学解题过程中应用广泛，需要学生在掌握基本方法的基础上学会灵活运用。本文将对圆锥曲线参数方程的应用要点进行简单分析，進而探讨基于圆锥曲线参数方程的解题过程，包括求解最值问题、求解三角形问题和求解范围问题等。

关键词： 圆锥曲线参数方程；高中数学；解题方法

圆锥曲线参数方程是几何与函数的结合，可以利用圆锥曲线定义中圆锥曲线上的点和两焦点之间的性质关系进行解题，通过建立数形结合思想、等价转换思想等，对题目进行简化，抓住题目求解的关键，进而快速、准确地完成解题过程。近年来，圆锥曲线参数方程的相关问题一直在高考中占有较大比重，是学生必须掌握的知识内容。有必要对其解题方法的具体应用策略进行分析，帮助学生掌握正确的解题策略。

一、 圆锥曲线参数方程的应用要点

在高中数学学习过程中，各知识点（如图）之间有密切的联系性，在学习圆锥曲线方程及其运用方法的过程中，也需要与之前学习的知识内容联系起来，从而做到对各种性质定理和解题方法的灵活运用。

圆锥曲线参数方程知识点

圆锥曲线参数方程的知识内容不是孤立存在的，具备扎实的数学基础，有助于增进对圆锥曲线参数方程的理解。总体而言，圆锥曲线参数方程是利用函数方程表示曲线上的任意一点，在平面直角坐标系下，利用x，y构成的方程组确定曲线上的点的二维坐标。在学习和运用这部分知识时，要求学生具备一定的数学思维能力，包括观察能力、空间几何能力、发散性思维能力等。在准确捕捉题目中所给条件和求解目的的同时，利用参考曲线图形或自己画出的草图，建立曲线图形与参数方程之间的直观联系，从而快速找出解题重点，求解出正确答案。通过圆锥曲线参数方程知识的学习和应用，培养从图形到方程、从方程到数字的转化能力。

二、 圆锥曲线参数方程在求解高中数学题中的具体应用

（一） 求解最值问题

求解最值问题属于圆锥曲线参数方程的常见类型题，通过采用典型题联系方法，可以达到举一反三的效果，帮助学生快速提高此类问题的求解能力。

比如在例题1中：“椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0），在椭圆内接一个四边形ABCD，各边均与坐标轴平行，求解四边形ABCD的最大面积和最大周长。”

首先根据题目进行分析推断，打开思路，采用创新性思维，通过与其他知识内容联系在一起，寻找求解圆锥曲线参数方程问题的突破口。根据题目已知条件，首先假设A点坐标为（acosθ，bsinθ），由于题目中说四边形ABCD的各边均与坐标轴平行，可以推断该四边形为矩形，因此，四边形ABCD的面积可以用S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ进行表示，当sin2θ取最大值时，S取得最大值，由于sin2θ最大值为1，此时Smax=2ab。同理，四边形ABCD周长可以用L=4（acosθ+bsinθ）=4（a2+b2） 1 2 sin（θ+β）表示，sinβ= a a2+b2 ，cosβ=

b a2+b2 ，当sin（θ+β）取最大值1时，Lmax=4 a2+b2 。

（二） 求解三角形问题

在高中数学圆锥曲线参数方程运用过程中，其本身具有一定的难度，对学生学习能力提出了较高要求。在具体解题过程中，应具备探索性思维，通过主动思考，或采取小组合作学习等方式，提升解题能力。圆锥曲线参数方程涉及到许多复杂性较高的复合型题目求解，在解题时不能拘泥于方法或公式的应用形式，而应完成知识的内化过程，把握好解题总体思路。

比如在例题2中：“已知双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）上任意一点P，∠F1PF2=θ，求解△F1PF2的面积。 ”

在求解该题时，需要结合正余弦定理，并利用三角形面积公式进行求解。根据三角形面积公式，S= 1 2 |PF1|×

|PF2|sinθ，根据圆锥双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|×|PF2|=4a2，进而可以推导出|PF1|×2|PF2|= 2b2 1-cosθ ，将其带入三角形面积公式后，可以求解出S= b2sinθ 1-cosθ =b2cot θ 2 。

（三） 求解范围问题

高中阶段的数学学习强调发挥学生的自主学习能力，通过深入开展自主探究和合作探究，并对学习过程进行反思，及时发现学生在学习过程中存在的问题，同时积累经验和教学，促进解题能力的提高。在圆锥曲线参数方程的学习过程中，逐渐掌握灵活的解题方法和技巧，针对不同问题，采取不同的求解方法。

比如在例3中：“已知椭圆方程 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）与x轴正半轴的交点为M，如果存在一点N，有ON垂直于MN，求椭圆离心率。 ”

在求解此题的过程中，设M点坐标为（a，0），N点坐标为（acosθ，bsinθ），根据题目已知条件构建圆锥曲线参数方程，结合ON⊥MN，有（bsinθ/acosθ）×（bsinθ/acosθ-a）=-1，简化后可以得到b2/a2=1-1/（1+cosθ）。与方程b2=

c2-a2联立，可以确定离心率e的范围为 2 2

三、 结束语

综上所述，通过对应用圆锥曲线参数方程求解问题需要具备的基础知识和数学思维能力进行分析，可以帮助学生有目的地提高相关知识技能水平，从而更好地学习和应用圆锥曲线参数方程知识。在此基础上，通过将新旧知识相结合，灵活运用圆锥曲线参数方程的相关性质定理，可以求解多种数学问题，同时达到培养学生空间几何能力和逻辑思维能力的效果。

参考文献：

[1]欧贺宏.山穷水复疑无路，柳暗花明又一村——例谈参数方程在高中数学中的运用[J].中学数学，2016（7）：65-67.

[2]陶苹丽，童嘉森.参数方程在圆锥曲线中的应用[J].高中数理化，2015（1）：1-2.

作者简介： 廖春龙，广东省韶关市，始兴县始兴中学。