旋转球体在流体中运动轨迹的求解

周正

摘 要：生活中的很多现象都可以利用流体中运动着的旋转球体这一物理模型给出解释。本文对于流体中的旋转球体进行了运动和受力分析，得到考虑了重力、阻力以及马格努斯力的运动方程，并利用合理的近似求解了一个特殊情况下的运动方程，得到旋转球体在流体中的质心运动速度的表达式。

关键词：旋转球体；黏滞力；马格努斯力

中图分类号：U661.1 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）19-0202-02

1 引言

足球比赛中的“香蕉球”，乒乓球网球运动中的旋球。这些现象中，都有一定的物理原理。本文针对这些现象，将之模型化为一个旋转的球体在有粘滞的流体中运动，受力分析写出球体的质心运动方程。针对球体的转轴和重力在同一条直线上这一特殊情形，利用一个合理的近似，我们可以将球体质心运动分解为两个互不影响的独立运动，通过求解这两个方向上的运动方程，得到了球体质心的运动轨迹，利用这些结果可以很好地解释体育运动中的相关现象。

2 模型的建立与受力分析

无论是香蕉球还是旋球，都在空气中运动，且球体本身除质心运动外还在旋转。空气在物理学中当作流体处理，严格来说，空气有粘滞，这意味着在其中运动的物体会受到来自空气的阻力，也即黏滞力。由于球体旋转以及质心平动，球体在运动过程中还会受到马格努斯力。除此之外，还有重力的作用。

粘性流体中的运动物体，会受到来自流体的粘滞作用，方向和物体相对于流体的运动方向相反，数学表达式会因为相对运动速度v的大小而呈现不同的结果。在低速时，物体受到斯托克斯力，在高速时，黏滞力的表达式变为[1]，其中，η是流体的粘滞系数，ρ是流体密度，r是球体的半径，是球体的质心相对流体的运动速度。造成这一不同的原因是，当相对运动速度较快时，物体的运动会导致流体中出现湍流的现象，流体中存在很多涡旋，而在低速运动中，流体呈现的是层流的状态。低速与高速的界限可以使用无量纲的雷诺数R=ρdv/η判定，其中d为物理的特征尺寸，η是流体的粘滞系数。当雷诺数在10～30之间的时候，流体中就会开始出现涡旋[1]。对于空气而言，密度ρ=1.29kg/m3，粘滞系数η=1.8×10-5Pa·s，通常情况下，体育运动中，球体运动的速度量级为v=10m/s，球体的特征尺寸可以选为球体的直径，量级为d=0.01m，可以得到雷诺数为R=104，这是非常大的数，说明體育运动中的球体运动收到的阻力需要选取表达式。

旋转的球体（设转速为ω）会带动周围的流体一起运动，此时如果考虑球体（设半径为r）还有质心的平动（设速度为v，且），则在球体表面处，流体的运动速度的分布将会不对称，最快的地方速度为v+ωr，运动最慢的地方为v-ωr（假设v>ωr）。根据伯努利方程我们知道运动速度不同的地方，压强不同，ΔP=ρΔ（v2），因此速度最快和最慢的地方的压强差为ΔP=ρ[（v+ωr）2-（v-ωr）2]=2ρvωr，如果考虑球的大圆面积πr2，压强差造成压力差2πρvωr3，受力方向垂直于和，这就是马格努斯力。以上的讨论只是定性的，严格的力的表达式为πρr3×[2]。

除黏滞力、马格努斯力外，还有重力-mg，其中是竖直方向朝上的单位向量。因此运动方程可以写为：

m=-0.2πρr2v+πρr3×-mg，=

3 流体中旋转球体质心运动的轨迹

以上得到的运动方程在一般条件下的求解很困难，本文中我们考虑特殊情形，球体的转轴和重力在同一条直线上，也即∥。同时在求解运动时，近似认为，速度的大小在运动过程中变化不大，此时黏滞力-0.2πρr2v可以近似认为是-0.2πρr2v0，其中v0是初始速度大小。这样一来，运动可以分解为互不相关的竖直和水平方向上的两个独立运动，独立求解，轨迹通过运动的合成可以得到。

当∥时，马格努斯力仅有水平分量，且为πρr3 ×=πρr3xy×。对速度的大小进行近似后，黏滞力可分解为-0.2πρr2v0=-0.2πρr2v0z-0.2πρr2v0xy。运动方程可以分解为竖直和水平方向上的两个互不相关的方程。竖直方向m=-0.2πρr2v0z-mg，水平方向m=-0.2πρr2v0xy+πρr3xy×。

运动方程m=-0.2πρr2v0z-mg是一个重力场中的阻力运动。以为正，则运动方程改写为m=-0.2πρr2v0vz-mg，于是m=-0.2πρr2v0Vz，其中Vz（t）=vz（t）+，可以求得，Vz（t）=Vz（t=0）。因此vz（t）=（vz0+）-。

水平方向上运动方程为m=-0.2πρr2v0xy+πρr3xy×。首先使方程左右和速度xy做内积，得到m=mxy·=-0.2πρr2v0，于是（t）= （t=0），所以速度大小随时间变化为vxy（t）=vxy（t=0）。接下来求解速度的方向（t）随时间变化，为此可设xy（t）=vxy（t）（t）=vxy（t=0）（t），代入到运动方程，可以得到（t）服从方程m[（t）]=πr3ρ（t）×。这和磁场中电子圆周运动的方程一致。类似可得（t）做匀速圆周转动，转动角速度为。合理选择坐标系使（t=0）方向指向x轴，则（t）=（cost，sint），因此xy（t）=vxy（t=0）（cost，sin）。这一结果说明，速度的大小指数减小，方向为匀速圆周转动。其物理原因是，阻力反向平行于速度，因此只改变速度大小，马格努斯力垂直于速度，不做功，只改变速度方向。因此，阻力使得速度大小指数减小，马格努斯力使得速度方向匀速圆周转动。

通过以上的求解，我们得到运动方程的解为：

vz（t）=（vz0+）-

xy（t）=vxy（t=0）（cost，sint）

可以看出在t1时，速度大小变化不大，在这一时间范围内近似是合理的。考虑体育比赛中，足球在空气中的运动，空气密度为ρ=1.29kg/m3，球速为v0=10m/s，质量为m=0.4kg，半径量级为r=0.01m，因此近似合理的时间范围为t5×102s，而通常足球在空气中的运动时间一般不会超过30s。不过一般情形下，随着时间的流逝，速度大小和初始值的偏离将会越来越大，此时阻力-0.2πρr2v不可近似为-0.2πρr2v0，运动方程需要重新求解。

4 结语

本文考虑了流体中旋转球体的质心运动问题，针对转轴在竖直方向上的特殊情况，结合速度大小变化不大的近似，给出了运动方程的解。通过解的结果可以看出，球体之所以旋转时会转弯，其物理原因均在于旋转的球体在质心的平动时，受到了垂直于质心速度方向的马格努斯力，该力使得质心运动速度发生旋转，从而导致质心位置发生转弯的现象。流体中旋转球体的质心运动这一物理模型还可以应用于其他情形中，一般情形下运动轨迹的求解也可以有更进一步的探讨。

参考文献

[1]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学[M].北京：高等教育出版社，2004：237-241.

[2]李丰.香蕉球的运动分析及方程推导[J].硅谷，2013，5（01）：174.