基于增维精细积分法非线性能量陷减振系统分析

刘 涛，张 勇，陈沛芝，盛光英，姜昱祥

(1.烟台南山学院，山东 烟台 265713； 2.河南省计量科学研究院，郑州 450008)

振动控制在实际工程中已得到充分的重视。自从文献[1]提出非线性减振器（Nonlinear Energy Sink，NES）的概念以来，NES得到了深入和广泛的关注和研究。传统的线性减振器只能对固有频率段减振效果明显。相比于传统减振器，非线性减振器具有优越的宽频减振特性[2]，并能提高减振效率。

NES的振动抑制机理是靶能量传递（Targeted Energy Transfer，TET）。TET的定义是能量在非线性晶格中快速向特定的方向传递[3]。TET在振动抑制中应用非常广泛[4]。文献[5]提出可实现靶能量传递的立方刚度方法，文献[6]验证了TET在单自由度立方非线性振子的保守系统中实现的可能性，文献[7]对2自由度的非线性减振器进行了研究。研究表明，在设计得当的前提下，NES具有良好的减振效果。

一般NES构建是用强非线性刚度弹簧替代传统减振器上的线性刚度弹簧，非线性刚度弹簧无特定的固有频率，可以吸收主结构的多阶频率振动能量[8]，但NES构成的非线性力学系统是复杂的，求多自由度非线性振动的高精度解是困难的，精细积分法[9–10]在求解线性定常振动方程时，可得到较高精度的解。利用增维精细积分法化非线性动力方程为形式上的齐次方程再求解，使高精度的计算多自由度非线性方程得以实现[11]。

本文主要提出一种NES立方非线性刚度的设计思路，利用普通线性弹簧的空间组合构建Duffing振子，来提高非线性减振器的减振频率，通过建立含立方刚度的2自由度、3自由度非线性动力减振系统的数学模型，利用增维精细积分法，探讨非线性能量陷减振系统的减振频率范围。建立外部连续随机激励的仿真模型，通过仿真分析表明，在其他条件确定下，非线性能量陷减振系统，对连续线性和随机外部激励，都具有较大的吸振频率范围，并取得良好减振效果。

1 线性减振系统分析

线性减振系统构件运动分析如图1所示。

图1 线性减振系统分析图

根据牛顿运动定律，系统强迫振动的微分方程为

考虑保守系统，式（1）可简化为

这是一个2阶线性常系数非齐次微分方程组，现在讨论由激振力引起的强迫振动的解，即系统的稳态振动的解[12]。

设微分方程的特解为

式中：B1，B2，是质量m1,m2的振幅，代入式（2）求解得

要想减振效果尽可能好，则ω2≈c,显然，在已知m2和k2的前提下，ω的取值范围确定，线性减振系统只能对特定的频率段起到减振作用；同时还要注意y的大小，必须使其在规定范围内，否则此减振系统无法应用。

2 2自由度非线性能量陷减振分析

改变线性弹簧的空间组合，构建如图2所示的Duffing振子，建立具有非线性能量陷的减振系统，根据牛顿运动定律，非线性能量陷减振系统强迫振动的微分方程为

图2 2自由度非线性减振分析图

考虑保守系统，令

则上式可化为

利用增维精细积分法[13]求上述方程，令x1=x，ẋ1=x2，y1=y，ẏ1=y2，x5≡ 1。

（7）式可转化为

式（9）在形式上已化为线性齐次方程，记时间步长τ，在很小的时间间隙内，方程式（9）可看成是定常系统，则可以用精细积分法。

方程的通解可表示为

利用指数函数的加法定理

其中：m为任意正整数，且m=2N，由于τ是一个很小的时间区段，则η=τ/m是一个非常小的时间区段，对于η，有

可写为

其中：Ta阵是一个小量矩阵，当它与单位阵In相加时，取前4项的结果即可满足要求。

为了计算T有

注意由于

由（16）式相当于执行语句

当循环结构结束时，有

在已知初始条件Y0，设定步长，作用时间，将每次所求T的结果代入式（9），依次求出Y1,Y2,Y3…的高精度解。

3 案例分析：

利用增维积分法求解2自由度非线性能量陷减振系统的运动方程，设置边界条件：m1=m2=1 kg，k1=k2=1，f=sinωt（周期为2π/ω），x1=x2=ẋ1=ẋ2=0，假定|x|＜0.01时，达到规定减振效果，则根据图3所示方法计算，角频率在ω=1～100rad/s范围(最大周期2π217)，求出可以减振的角频率范围。

图3 计算步骤

求解2自由度非线性能量陷减振系统的运动方程，所得结果如表1所示，2自由度非线性能量陷减振系统可有效减振角频率为

ω=30,31,32,33,93,94,95,96rad/s，由公式（4）可知，在此案例所定的条件下，线性减振系统的可有效减振角频率为ω≈1rad/s，2自由度非线性能量陷减振系统的可减振范围明显优于线性减振系统。

表1 2自由度非线性能量陷减振系统减振频率/(rad·s-1)

理论上，若增大x的取值范围，则ω的可取值范围会变大，2自由度非线性能量陷减振系统的可减振频率会增多。

图4为y(m2运动)的轨迹图，在|x|＜0.01范围内，y的位移轨迹为连续平滑曲线，上下极值的绝对值和很小，没有位移上的突变，y的运动不会对2自由度非线性能量陷减振系统造成影响，此种减振设计合理。

图4 m2的位移图

4 3自由度非线性能量陷的减振

增加图2所示Duffing振子的自由度，建立如图5所示的3自由度非线性能量陷的减振系统，根据牛顿运动定律，非线性能量陷减振系统强迫振动的微分方程为

图5 3自由度非线性减振分析图

按照案例分析所示的过程，在其他条件不变前提下，利用增维精细积分法求方程式（19），所得结果如表2所示，3自由度非线性能量陷减振系统可有效减振角频率为ω=30,31,32,33,61,62,63,64,93,94,95,96(rad/s),可见，3自由度非线性能量陷减振系统相比较于2自由度非线性能量陷减振系统，其减振范围更大。

根据以上所得结果，得到以下结论：在外界激励为线性连续激励前提下，增加非线性能量陷减振系统的自由度，可以有效增加其减振角频率范围。

5 随机连续振动激励的减振分析

以上分析证明了非线性能量陷减振系统对外界激励为线性连续激励，具有良好的减振频率范围，现引入外部随机连续振动激励，给定振动频率为0～100 Hz的外部激励，分别在2自由度和3自由度非线性减振系统下进行仿真。m1的运动位移如、图6（a）、图 6（b）所示。

由图6（a）、图6（b）仿真结果可看出，忽略运动初期（1秒～3秒）振动，非线性能量陷减振系统对随机连续振动具有较好的减振效果；3自由度非线性能量陷减振系统较2自由度非线性能量陷减振系统，均值线到平衡位置的距离小，振动幅值围绕均值线上下振动波动小，减振效果更为明显。

根据以上所得结果，可得到以下结论：在条件允许的前提下，增加非线性能量陷减振系统的自由度，不仅可增加其减振频率范围，减振效果也会增强。

6 结语

（1）本文通过利用线性减振弹簧空间的改变，提出一种切实可行的非线性能量陷减振系统构建方法。

（2）利用增维精细积分法得到非线性能量陷减振系统的高精度解，对比非线性能量陷减振系统与线性减振系统的减振范围，肯定了非线性能量陷减振系统的优越性。

表2 3自由度非线性能量陷减振系统减振频率

图6 位移图

（3）通过比较2自由度非线性能量陷减振系统和三自由度非线性能量陷减振系统的减振范围，得出增加非线性能量陷减振系统的自由度，可以有效增加其减振角频率范围的结论。

（4）进行外部连续随机激励的仿真分析，进一步确定了所构建的非线性能量陷Duffing振子的可行性。