基于冻土比热的未冻水含量反演算法

李顺群,杨文喜,王杏杏,赵磊,夏锦红



基于冻土比热的未冻水含量反演算法

李顺群1,2,杨文喜1,2,王杏杏1,2,赵磊3,夏锦红3

1. 天津城建大学 土木工程学院, 天津 300384 2. 天津市软土特性与工程环境重点实验室, 天津 300384 3. 新乡学院 土木工程与建筑学院, 新乡 453003

考虑未冻水含量随不同负温变化的事实，结合混合量热法中相变潜热对冻土比热测试值的影响，建立了基于比热的冻土未冻水含量反演算法。依据比热具有按各成分质量可进行加权叠加的性质，将相变阶段某一温度点的冻土比热视为冻土骨架、液态水和固体冰三相的比热加权之和，同时还考虑了该温度点未冻水变化率所需潜热的影响，在此基础上导出了根据冻土比热反演其未冻水含量的方法。将冻土相变阶段一定温度下的比热视为冻土骨架、液态水和固体冰比热的加权总和。采用混合量热试验测量了某冻土试样的未冻水含量，并利用本文给出的反演算法计算了相应的未冻水含量。两种测试结果的未冻水含量变化趋势相同，即未冻水含量随着温度的降低逐渐减少，且递减趋势逐渐减弱；与混合量热试验方法相比，本文给出的算法得出的未冻水含量略高，这主要是因为新算法考虑了相变潜热的影响，因而理论上更为合理。

岩土工程; 未冻水含量; 反演算法; 量热法

冻土与常温土（融土）的最大不同在于含有固体冰。当环境温度降至0 ℃以下时，冻土中的部分水将相变为冰。随着温度的降低，冻土内的液态水量会不断变化。受土的矿物成分、受力条件等因素的影响，冻土中始终包含有一定数量的未冻水。由于水和冰的物理性质和热力学性质相差较大，在确定冻土的工程性质时，未冻水含量是一个极其重要的影响因素[1,2]。

目前，冻土未冻水含量的测试一般采用间接方法，如量热法、时域反射法（Time-Domain Reflectometry，简称TDR)、脉冲核磁共振法（Nuclear Magnetic Resonance，简称NMR）、差示扫描量热法（Differential Scanning Calorimeter，简称DSC）和压力板仪法等[3-7]。这些方法相应的计算理论均存在不同程度的瑕玷，不同测试方法得到的结果也并不一致。总的来说，冻土中的未冻水含量尚难以准确确定。尤其是某些间接测量方法，由于是通过测试自由频率、氢元素含量等指标间接得到未冻水含量的，因此理论上并不严密，数值上也并不唯一，甚至量纲也不协调。而既有的理论计算方法，多为半理论半经验公式，不仅不同方法得到的未冻水含量差别较大，甚至没有相应的理论对其进行解释[8-12]。因此，完善冻土未冻水含量的简易计算方法，在理论和实践方面具有重要的科学意义和工程价值。

混合量热法是进行物质比热测试的常规方法，其原理鲜明、概念清晰、操作简便，适用性广且测试精度较高[11]。考虑冻土中冰体含量随不同负温动态变化，冻土比热是随不同负温动态变化的[12]。因此，常规的混合量热法难以适用于冻土的比热测试，即无法通过量热前后的温度差来确定某一温度点的冻土比热。夏锦红等[13]考虑冻土比热无法采用单次混合量热测试的事实，基于混合量热基本原理给出了一种测定某负温冻土比热的方法，从而解决了常规量热法在冻土比热测试中的不足。本研究在其基础上，依据热平衡原理和比热加权计算的方法，考虑相变阶段比热随负温变化的特点，建立了未冻水含量的递推算法。

1 基于能量理论的未冻水含量

未冻水含量是冻土体系中极为重要的参数。冻结过程中，未冻水含量的变化会导致冻土的热物理性质发生变化[14-16]。

1.1 未冻水反演算法的理论研究

标准环境中，当温度低于0 ℃时纯水会全部转化为固体冰。土是一种复杂的多相体，土中水在温度低于0 ℃时并不会马上凝结成冰。只有当温度达到冻结温度后，土中的液态水才开始固化。即使低于冻结温度，由于表面能的作用，并不是所有的孔隙液态水都能固化成冰。也就是说，即使在极低的温度条件下，土中始终存在着一定数量的液态水[17,18]。

根据土中水相态的变化过程，可以将土的冻结过程划分为三个阶段，即未冻阶段、相变阶段和冻实阶段。在未冻结段，土中水未发生相变，故冻土未冻水含量始终等于初始含水量。在相变阶段，即达到冻结温度后，液态水将随着温度的降低不断相变为冰，故未冻水含量并不稳定，此时的未冻水含量需要根据试验和理论算法获得。在冻实阶段，土中水的冻结过程将逐渐趋于平缓，孔隙水不再随温度的降低而发生相态变化，即该阶段始终存在极少量的液态水，这部分液态水称为不可冻水分含量[19]。

冻结过程的未冻水含量变化主要集中在相变阶段，因此建立相变阶段未冻水含量的计算公式极为关键。相变阶段温度与未冻水含量密切相关，随着负温的降低，冻土内的孔隙水不断相变为冰，其内部热量不断变化。基于相变阶段比热随负温的变化情况以及潜热对比热的影响，可以建立相变阶段冻土未冻水含量的反演算法。结合未冻结段和冻实阶段的未冻水含量变化，可以提出整个冻结过程的未冻水量计算方法。

1.2 未冻水含量的反演算法

通过室内冻结试验确定土样的相变温度范围，根据相变温度范围的起点和终点即可将冻结过程划分为未冻阶段、相变阶段和冻实阶段。其中，未冻结段的未冻水含量由土样的初始含水量决定；冻实阶段的未冻水含量则取决于土样的不可冻水分含量；相变阶段的未冻水含量可以根据下面的反演算法进行确定。

（1）对所取的原状土进行物性指标测试，得到其含水量和天然密度。将原状土加工成指定规格土样，分别测量每个土样的质量；

（2）采用室内冻结试验获取土样的温度-时间变化曲线，从而可以确定土样的冻结温度T（冰点）和相变终止温度T；

（3）根据冻结温度T（冰点）和相变终止温度T，将冻结过程划分为未冻阶段、相变阶段和冻实阶段；

（4）计算土样在相变阶段任意温度时的比热。由于水相变为冰释放的潜热较大，不可忽略，故计算比热或未冻水含量时应考虑相变潜热的影响。将土样冷却至温度，采用混合量热法测量土样在该温度点的比热；

（5）混合量热过程中冻土的热交换量由冻土骨架、孔隙水和孔隙冰的热交换量，以及土中水相变为冰释放的潜热共四个组成部分构成。因此，冻土的比热由四部分叠加而成，即

式中，、c、c、c分别表示温度为时冻土、土骨架、未冻水和冰的比热容；M、M、M分别表示温度为时土体中土骨架、未冻水和冰的质量占比；∆M表示温度间隔∆内冻土内冰的质量变化量的质量占比；表示水的潜热，一般取333.7 kJ/kg∙℃。

（6）结合公式（1）和（2），推导得出相变阶段的未冻水含量-比热的函数关系

式中，w表示温度为时冻土的未冻水含量；M’表示温度为-∆时冻土未冻水的质量占比。

结合冻结过程其他两个阶段的未冻水含量，可以建立整个冻结过程中未冻水含量的计算公式。

式中，w、、w分别为土样未冻水含量、初始含水量、不可冻水分含量；T、T分别为土样冻结温度、相变终止温度。

2 基于量热法的未冻水含量

2.1 量热法原理

量热法是基于热量守恒定律建立起来的测量未冻水含量的经典方法。将恒温冻土试样放入量热器中，由于量热水和冻土试样存在一定温差，两者之间产生热交换，经过一定时间后量热器内混合物温度达到平衡，根据能量守恒定律，冻土试样吸收的热量与量热水及量热器释放的热量相等。

式中，吸为热交换过程中试样吸收的热量；放为量热水和量热器释放的热量。

冻土通常被视为冻土骨架、孔隙冰、孔隙水和孔隙气组成的复杂四相体，其中孔隙气的质量及比热很小忽略不计。所以，对于含有冻土骨架、孔隙冰和孔隙水的冻土，热交换过程中吸收的能量为三相吸收能量之和。

式中，固、冰、水分别为冻土骨架、冰相和水相吸收的热量，即

式中，m、m和分别为冻土骨架、未冻水和量热水的质量；为冻土试样的初始含水率；为量热器的热容量，单位为kJ/℃；、和分别为冻土骨架的初始温度、量热水和量热器的初始温度、热交换平衡时的温度。因此

2.2 量热法试验

试验用土取自天津曹庄附近的原状粉质黏土，呈褐黄色。对所取原状土进行室内土工试验测得物理性质指标为：天然密度1.91 g/cm3、含水量=23.37%、土粒比重G=2.72、液限W=29.7、塑限W=18.4。

量热试验主要仪器包括TDR冻融试验箱、自制量热器（内置热电阻Resistance Temperature Detector，简称RTD）、安捷伦温度采集仪（型号34970A）、型热电偶、计算机等。试验仪器连接方式如图1和图2所示。

图1 冻融过程主要仪器

图2 量热过程主要仪器

量热试验过程中，不可避免的会出现试验误差，如冻土试样转入量热设备以及量热过程中的热损。为了减少试验误差，采用温度传感器（型热电偶）实时监测试样内部温度和量热过程中混合物的温度。并且每一温度点制备三个试样，通过三次平行试验取平均值的办法，减少试验误差，精确试验结果。

2.3 量热法的未冻水含量分析

冻结温度是冻土内部液态水相变的初始温度，是判断土体相成分和土体冻结状态的指标。冻结温度之前，土样处于未冻结段，此阶段未冻水含量与土样初始含水量相同。因此混合量热试验前需要通过冻结试验测定原状土的冻结温度。

冻结法施工时，现场的冻结盐水温度一般为-28~-30 ℃，室内试验测定土样冻结温度时，将冻融箱的温度设置为-30 ℃。如图2所示，将土样与试验仪器连接起来，数据采集系统记录土样内部温度变化情况，从而测得原状土冻结温度接近-0.38 ℃。

图 2 数据采集系统

量热法测定未冻水含量，需要先确定自制量热器的热容量，经测定=0.279 kJ/℃。同时，通过量热法测试了未冻土骨架比热和冻土骨架比热，测试结果分别为0.828 kJ/kg∙℃和0.762 kJ/kg·℃。

由于测量的土样冻结温度为-0.38 ℃，分别制备温度-0.5 ℃、-1 ℃、-1.5 ℃、-2 ℃、-2.5 ℃、-3 ℃、-5 ℃、-7 ℃、-10 ℃的冻土试样。土样为高60 mm，直径20 mm的圆柱，且每一温度点取三个土样进行量热试验。按照公式（12）计算未冻水含量，为了结果更合理取三次平行试验的均值作为该温度的未冻水含量。图3为测定的三个土样的冻土未冻水含量及其均值。

图3 未冻水含量与温度关系

从图3可以看出，未冻水含量随着温度的降低逐渐减少且递减趋势逐渐减弱。-0.5 ℃时冻土未冻水含量发生骤降，主要是由于温度低于冻结温度-0.38 ℃后冻土内大部分自由水和弱结合水相变为冰。相变阶段，-0.38℃~-3 ℃的未冻水含量递减趋势显著，-3℃~-7 ℃的未冻水含量递减趋势明显弱于前一个阶段且逐渐趋于平缓，-7 ℃后未冻水含量趋于稳定。

3 未冻水含量反演算法的验证

从给出的未冻水含量反演算法的步骤可知，反演未冻水含量前需要测定相变阶段冻土的比热。冻土比热随温度的变化而变化，忽略潜热影响的冻土比热与实际相差较大[20]。夏锦红等[13]考虑了冻结过程中显热和潜热的双重效应，建立了冻土比热的计算公式。本文基于其建立的冻土比热计算公式，得到了温度为-0.5 ℃、-1 ℃、-1.5 ℃、-2 ℃、-2.5 ℃、-3 ℃、-5 ℃、-7 ℃、-10 ℃的冻土试样相应的比热值，如表1所列。

表1 不同温度的比热值

由不同负温的比热值，结合未冻水含量反演算法的步骤，求得冻土内冻土骨架、孔隙冰和孔隙水三相成分相应的质量占比，进而反演出不同负温的未冻水含量。具体数据如表2所列。

表 2 冻土内各组分质量占比及未冻水含量

为了更明确的显示未冻水含量与温度的关系，绘制了两者的关系图，如图4所示。在反演算法的未冻水含量变化曲线中，未冻水含量随着温度的降低逐渐减少，且递减趋势逐渐减弱。-0.5 ℃时未冻水含量发生骤降，-0.38 ℃~-3 ℃时未冻水含量递减趋势显著，-3 ℃~-7 ℃时未冻水含量递减趋势趋于平缓，-7 ℃后未冻水含量接近于稳定。

图4 不同负温的未冻水含量

对比未冻水含量反演算法和量热法的结果，可以明显看出，两种算法的未冻水含量变化趋势相同。相变阶段任意温度下量热法的未冻水含量都小于反演算法的未冻水含量，这可能是由于反演算法考虑了相变潜热的结果。由此可知，反演算法的未冻水含量更有利于保证工程实践的安全性。

4 结论

本文主要基于比热随负温的变化过程和潜热的宏观表现形式，建立了未冻水含量的反演算法。该算法将相变阶段某一温度点的比热转换为四部分热量贡献之和，即冻土骨架、液态水、固体冰的比热与相应质量占比之积，以及土中水相变成冰的潜热转换值，进而由等量关系反演计算未冻水含量。随后通过室内试验对量热法的未冻水含量进行了研究，并且与未冻水含量反演算法的结果进行了对比分析。结果表明反演算法的未冻水含量变化趋势与已有理论的未冻水含量变化趋势形同，即未冻水含量随着温度的降低逐渐减少，且递减趋势逐渐减弱。由于反演算法考虑了相变潜热的影响，相变阶段任意温度下反演算法的未冻水含量均大于量热法的未冻水含量，且结果对工程实践安全更有利，从而验证了未冻水含量反演算法的合理性和有效性。

[1] 路建国,张明义,张熙胤,等.冻融过程中未冻水含量及冻结温度的试验研究[J].岩石力学与工程学报,2017,36(7):1803-1812

[2] 陈之祥,李顺群,夏锦红,等.基于紧密排列土柱模型的冻土热参数计算[J].深圳大学学报理工版,2017,34(4):393-399

[3] 冷毅飞,张喜发,杨凤学,等.冻土未冻水含量的量热法试验研究[J].岩土力学,2010,31(12):3758-3764

[4] 刘波,李东阳.人工冻结粉土未冻水含量测试试验研究[J].岩石力学与工程学报,2012,31(S2):3696-3702

[5] 马田田,韦昌富,周家作,等.土体的冻结特征曲线和持水特性[J].岩土工程学报,2015,37(S1):172-177

[6] 徐海峰,刘宝林,郝保同,等.纳米低温保护剂水合及玻璃化性质的DSC研究[J].低温物理学报,2011,33(6):458-462

[7] 谭龙,韦昌富,田慧会,等.冻土未冻水含量的低场核磁共振试验研究[J].岩土力学,2015,36(6):1566-1572

[8] 于司杭.基于近红外光谱技术的冻土未冻水含量研究[D].哈尔滨:东北林业大学,2016

[9] Kozlowski T, Nartowska E. Unfrozen water content in representative bentonites of different origin subjected to cyclic freezing and thawing[J]. Vadose Zone Journal, 2013,12(1):1196-1196

[10] 曲广周,张建明,郑波,等.仅热交换条件下冻土未冻水含量的热力学理论[J].科学技术与工程,2008,8(6):1488-1491

[11] 李东阳.冻土未冻水含量测试新方法的试验和理论研究[D].北京:中国矿业大学,2011

[12] 周泓,张泽,秦琦,等.冻融循环作用下黄土基本物理性质变异性研究[J].冰川冻土,2015,37(1):162-168

[13] 夏锦红,李顺群,夏元友,等.一种考虑显热和潜热双重效应的冻土比热计算方法[J].岩土力学,2017,38(4):973-978

[14] 张熙胤,张明义,路建国,等.土体冻融特征研究现状与展望[J].冰川冻土,2016,38(6):1644-1657

[15] 王爱文,谢正辉, Feng XB,等.考虑冻融界面变化的土壤水热耦合模型[J].中国科学:地球科学,2014,44(7):1572-1592

[16] 温智,马巍,薛珂,等.基于PF meter基质势传感器的冻土水分迁移研究[J].土壤通报,2014,45(2):370-375

[17] 马敏,邴慧,李国玉.硫酸钠盐渍土未冻水含量的实验研究[J].冰川冻土,2016,38(4):963-969

[18] Kozlowski T. A comprehensive method of determing the soil unfrozen water curves. 2: stages of the phase change process in frozen soil-water system[J]. Cold Regions Science and Technology, 2003,36(1):81-92

[19] Kozlowski T. Modulated Differential Scanning Calorimetry (MDSC) studies on low-temperature freezing of water adsorbed on clays, apparent specific heat of soil water and specific heat of dry soil[J]. Cold Regions Science and Technology, 2012,78(78):89-96

[20] 陈之祥,李顺群,王杏杏,等.热参数对冻土温度场的影响及敏感性分析[J].水利水电技术,2017,48(5):136-141

Inversion Algorithm of Unfrozen Water Content Based on Specific Heat of Frozen Soil

LI Shun-qun1,2, YANG Wen-xi1,2, WANG Xing-xing1,2, ZHAO Lei3, XIA Jin-hong3

1.300384,2.300384,3.453003,

The unfrozen water content varies with different negative temperatures, and combining the effect of the latent heat of phase change on the specific heat test value of frozen soil in the mixed calorific method, the inversion algorithm of unfrozen water content in frozen soil based on specific heat was established. The specific heat can be weighted and superimposed according to the mass of each component, the specific heat of frozen soil at a certain temperature in phase transition stage is regarded as the weighted sum of specific heat of frozen soil skeleton, liquid water and solid ice. At the same time, the influence of latent heat on the change rate of unfrozen water at this temperature point is considered, and the method of retrieving its unfrozen water content according to the specific heat of frozen soil is derived. The specific heat at a certain temperature in the phase transition of frozen soil is regarded as the weighted sum of the specific heat of frozen soil skeleton, liquid water and solid ice.The unfrozen water content of a frozen soil sample was measured by mixing calorimetry, and the corresponding unfrozen water content was calculated by using the inversion algorithm given in this paper. The change trend of unfrozen water content between the two test results is the same. That is, the content of unfrozen water decreases gradually with the decrease of temperature, and the decreasing trend decreases gradually. Compared with the mixed calorimetric test method, the unfrozen water content obtained by the algorithm in this paper is slightly higher. This is mainly because the new algorithm considers the effect of latent heat, so it is more reasonable in theory.

Geotechnical engineering; unfrozen water content; inverse algorithm; calorimetry

TU411.3

A

1000-2324(2018)05-0841-06

10.3969/j.issn.1000-2324.2018.05.024

2018-01-23

2018-04-09

国家自然科学基金(41472253);天津市自然科学基金重点项目(16JCZDJC39000);天津市建设系统科学技术项目发展计划(2016-25)

李顺群(1971-),男,博士,教授,主要从事岩土工程和地质工程的研究工作. E-mail:lishunqun@yeah.net