一种快速计算空间扰动引力矢量的方法

叶洺恺 刘新宇 刘亚伟

摘要：针对位系数模型法计算地球外部空间扰动引力三分量时计算效率低，无法满足导弹负载计算机实时计算的问题，本文介绍了点质量模型法。以15°N～45°N，110°E～130°E范围为试验区组织数值实验，实验结果表明：相比于位系数模型，点质量模型在保持计算精度的前提下，单点计算效率提高了34.88倍。

关键词：扰动引力；位系数模型；点质量模型

引言

扰动引力是影响弹道导弹打击精度的主要因素之一，如何快速计算导弹扰动引力矢量是物理大地测量学的研究热点之一[1]。传统的位系数模型法可以保证空间计算点的计算精度，但其计算速度无法满足导弹实时计算要求。点质量模型是一种新的等效算法，模型将地球内部的扰动质量看做离散的质点，该方法有显著的优点：一是其核函数结构简单，计算效率高，而且随着扰动点层数的累加，其精度也相应的提高；二是其叠加性可以比较灵活的表示扰动引力场不同频段的信息；三是避免了直接积分中靠近地面时的奇异现象；还有该方法还可以简单的顾及地形改正和有效的利用地面已知重力数据。正是因为其独特的优越性，该方法一经出现就得到迅猛发展，吴晓平[2]系统地研究了模型构成方法及点密度、埋藏深度与逼近精度的关系；黄谟涛[3]系统地研究了扰动点质量模型的构建、检验以及在导弹扰动引力计算中的应用，提出一种窗口移动控制方法；晃定波[4]等研究了整体大地测量的虚拟点质量模型。但点质量模型在空间扰动引力矢量赋值中计算效能如何，本文将通过数值实验予以验证。

1 位系数模型法

位系数模型使用的是地球引力位展开到N阶球谐函数级数式中的系数。这些系数通常是利用对卫星摄动运动的观测数据求得的，因此适用于计算高空点的扰动引力。

此方法是计算球外扰动位的最基本的方法，其表达式如下：

（1）

其中：和为无量纲的正常化的球谐函数，为完全正常化的勒让德函数，为计算点的地心坐标。

将上式对、、方向（径向、纬向和经向）求导即可得到三分量的扰动引力值。

（2）

从上式可以看出，只需将位系数和点位三维坐标输入引力位球谐级数展开式中，便可得到该点的扰动位值，进而求得扰动引力值。

位模型系数法有高度的适应性，但是在计算时每一点都需要求解展开到N次的勒让德函数值，计算量较大，耗时较长。例如若要得到待求点完全至2160階次的某一个分量的扰动引力值，需要读取2161×2162=4672082个位系数模型，并计算2336041个勒让德函数，另外还有超过次的乘法和大量的三角函数计算，其计算量可想而知。显然不适合飞行器对于实时获取扰动引力的需要。

2 点质量模型法

将空间的扰动信息看做一组离散分布在地面以下的扰动质量点产生，由万有引力公式可得：

（3）

式中：扰动质点的质量（简称残差点质量），为残差点质量到计算点距离。

根据扰动位与重力异常的关系：

（4）

可得到地面重力异常与地球内部球面上的扰动点质量之间的关系为：

（5）

式中，，表示重力异常点和质量的球坐标，在球近似情况下可认为，为两点所成的球心角，可由如下公式进行计算：

（6）

3 数值实验分析

为验证点质量模型的计算效能，实验选取15°N～45°N，110°E～130°E范围范围作为实验区进行实验，根据第1节中阐述的空间扰动引力三分量计算方法，利用EGM2008重力场模型计算5Km和20Km高度层上的10′×10′的20736个格网点扰动引力三分量值，将实验结果绘制成图（如下图所示）。

同理，根据第2节中介绍的点质量模型方法计算试验区内5Km和20Km高度层上10′×10′的20736个格网点扰动引力三分量，将计算结果绘制如下图：

（a，b，c分别代表经向、纬向和径向分量）

分析以上实验结果可得如下实验结论：总体上，试验区内扰动引力场三分量随高度升高而减小，这种减小趋势是非线性的。扰动引力三分量在低空部分呈现剧烈变化特性，主要是因为在低空部分扰动引力三分量受重力场的短波信号影响，呈现出高频变化性，跟试验区地形信息呈现强相关性；在高空部分主要受重力场长波信号影响，变化较为平缓，与地球深部地质构造和密度有关。

本实验计算环境为Intel CORETM i5（双核），主频2.3 GHz，内存8GB，统计两种赋值方法的计算时间：

分析实验结果：相比于传统的位系数模型法，在实验区内点质量模型计算结果与位系数模型法计算结果相当，精度对比结果显示，在各个高度层上三分量的差值大小均可控制在1mGal以内。对比两种方法的计算时间发现，点质量模型方法在保证精度的前提下计算效率上得到了极大的提升。实验结果显示单点计算时间由原来的87.20ms缩短为2.5ms，计算速度提升34.88倍。

4 总结

本文通过实验说明，相比于传统的球谐位系数法，点质量模型能在保持精度的前提下极大地提升扰动引力赋值效率，满足导弹扰动引力赋值的实时性需求。综上可得如下结论，点质量模型可以快速逼近地球外部空间扰动引力，可以实现弹道积分的快速赋值。

参考文献：

[1] Moritz.Advanced Physical Geodesy[M].Herbert Wichmann Verlag，Karisruhe.1980.

[2]吴晓平.局部重力场的点质量模型[J].测绘学报，1984，13（4）：249-258.

[3]黄谟涛.扰动点质量赋值模式结构优化及序贯解法.测绘学报，1994，23（2）：81～89.

[4]晃定波，宁津生. 整体大地测量的虚拟点质量模型[J]. 武汉大学学报信息科学版，1992，17（2）：1-7.

[5]杨金玉，张训华，张菲菲，等. EGM2008地球重力模型数据在中国大陆地区的精度分析[C]// 中国地球物理学会年会. 2011：1298-1306.