例析参数方程中参数的应用

杨志强

摘 要：在高中选修4-4的教材中参数方程占重要地位，要求学生学会选参，消参，用参，教材重点学习直线，圆，椭圆的参数方程，在全國卷的高考试题的选做题的第一题重点考查，学生用参数解决问题能力不高，通过对例题分析让学生掌握参数方程的使用。

关键词：参数方程；用参

一、圆的参数方程

圆的参数方程为（θ为参数）.Θ的几何意义为圆心角

例1 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）求得参数方程；

（Ⅱ）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.

解：（Ⅰ）的普通方程为，可得的参数方程为（为参数，）

（Ⅱ）设由（1）得到直线与的斜率相同，则，

故的坐标为，即

点评：正确运用圆的参数方程是解决问题的关键，参数方程的形式是点的坐标，学会利用参数方程表示曲线上点.

二、直线参数方程及其运用

经过点P（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）

例2 设直线经过、倾斜角为，且直线与抛物线交于两点.

（1）求直线的参数方程

（2）求线段的长及

（3）求线段得中点坐标.

解：（1）直线的参数方程为

（2）将直线的参数方程代入得则

设，则

（3）线段得中点对应的参数，中点坐标为

归纳：直线与曲线交于两点，对应的参数分别为，

则线段，距离之和为，距离之积为，线段得中点对应的参数.

三、椭圆参数方程及其运用

椭圆的参数方程为（θ为参数）.

例3 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2.

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

[解析] （1）C1的普通方程为+y2=1，C2的直角坐标方程为x+y-4=0.

（2）由题意，可设点P的直角坐标为（cosα，sinα）.因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d（α）的最小值，d（α）==|sin（α+）-2|.

当且仅当α=2kπ+（k∈Z）时，d（α）取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为（，）.

四、结束语

通过上述例题的分析，曲线参数方程的应用主要是用参数来优化解析几何中的运算，圆，椭圆用参数求最值，直线参数方程用参数求解与距离有关的问题.

参考文献：

[1]选修4-4极坐标参数方程.数学教材，2012（24）：21-40.

[2]精准高考.中国和平，2012（03）：77-80.

（作者单位：四川省泸州高级中学校）