例谈圆锥曲线中的一题多解

孙瑞泽

摘要：在新课程改革背景下，课程强调对学生创新精神和实践能力的培养，要求教师改变教学方式、充分发挥学生的主体作用。在教学过程中，一题多解可以调动学生的积极性，培养我们的思维能力，提高学习的效率。在高中数学中，圆锥曲线是重要的知识点，它不仅在高考试卷中占有很大的比例，而且在大学高等数学中也有广泛的应用。在做圆锥曲线类的题目时，往往有很多种解答方法，例如：点差法、设而不求法、消元法等等。本文将阐述一题多解在圆锥曲线中的应用，以及一题多解方法对我们高中学习的启示。

关键词：圆锥曲线;一题多解

中图分类号：G634   文献标识码：A   文章编号：1672-9129（2018）15-0270-01

Abstract：in the context of the new curriculum reform， the curriculum emphasizes the cultivation of students' innovative spirit and practical ability， and requires teachers to change the teaching mode and give full play to the main role of students. In the process of teaching， multiple solutions to a problem can mobilize the enthusiasm of students， cultivate our thinking ability， and improve the efficiency of learning. In high school mathematics， conic curve is an important knowledge point， it not only occupies a large proportion in the college entrance examination paper， but also has a wide range of applications in college higher mathematics. There are many ways to solve the problems of conic curve， such as point difference method， set-and-don't solve method， elimination method and so on. This paper will expound the application of one multi-solution in conic curve and the enlightenment of one multi-solution method to our high school study.

Keywords： conic curve;More than a problem solution

1 圆锥曲线曲线的定义及性质

1.1圆锥曲线的定义。圆锥曲线包括三类曲线，分别是椭圆、双曲线、抛物线。圆锥曲线一共有两种定义形式，第一定义是指三类曲线的主要特性，第二种定义是指各类曲线之间的的联系。

圆锥曲线第一定义：

椭圆：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。

双曲线：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。

抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物線。

圆锥曲线的第二定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0

1.2圆锥曲线的性质。高中数学主要研究圆锥曲线的基本性质和光学性质。圆锥曲线的基本性质主要研究椭圆、双曲线、抛物线的基本方程、图形、对称性、顶点、离心率、准线、渐近线、焦点、以及过曲线上点P的切线方程。圆锥曲线的光学性质主要源于它的切线和法线的性质。椭圆的光学性质是指从椭圆的一个焦点出发，引一条光线，经过椭圆面的放射，必然经过另一个焦点。双曲线的光学性质是指从双曲线的一个焦点引一条光线，其放射光线的反向延长线必过焦点。抛物线的光学性质是指从焦点引一条光线，其反射光线平行于对称轴。

2 一题多解在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线涉及的概念多、性质多，在解答圆锥曲线类题目时经常会有多种解答方法。因此在我们学习圆锥曲线的过程中，要注重一题多解，这样不仅可以将知识点整合到一块，而且可以培养自主创新和发散思维的能力。在解析几何中的圆锥曲线问题，往往可以转变为函数、向量、不等式、等代数问题问题来求解。

例如：已知双曲线[x2a2-y2b2=1，a>0，b>0]的两个焦点为[F1，F2]，若[P]为其上一点，且[PF1=2PF2]，则双曲线离心率的取值范围为（）。在解决这道题时不仅可以运用三角形的正弦、余弦定理求解，而且还可以应用焦半径公式求解。

例如：求抛物线y=x2上一点与直线x-y-2=0的最短距离。在解决这道题是可以用定义法求解，表示出抛物线上一点到直线的距离即d，然后用x表示y即可解出，也可以设出一条与x-y-2=0平行的直线且与抛物线相切的直线，然后利用抛物线的性质即可解出。

3 一题多解对高中学习的反思和启示

在解决问题采用多种解法时，可以帮助同学们挖掘问题的本质和知识点的整理，也可以培养思维的灵活性和变通性。一题多解不仅可以可以帮助自己更加牢固的掌握知识点和解题过程，而且也可以帮助自己检查其他知识点的掌握情况。一题多解可以激发我们把问题想的广、想的深、想的透的能力，使自己更愿意去专研、去思索，让我们明白解决某一类题时，哪种方法更简便，哪种方法更合理。一题多解不仅符合了新课程改革下的学生观，而且也对自己本身有很大的积极作用。高中时期是思维能力和记忆能力的黄金时期，因此在我们高中学习过程中，主动应用一题多解的学习方法对我们的思维能力有很大的帮助。

同时在一题多解的教学过程中，老师要充分发挥好主导作用，这样有助于同学们树立自信心，使得我们终身受益。一题多解正好可以满足我们自己不同的需求，让我们选择自己喜欢的或者适合自己的解题方法，从而使得不同层次的学生都有所收获。

结语： 在日常的教学和学习过程中，不仅要在解决圆锥曲线问题采用一题多解，还在在解决其他问题时去应用一题多解。一题多解可以培养我们的思维能力，激发学习兴趣，帮助我们建立完备的知识体系，从而提高学习质量。一题多解可以充分挖掘我们的潜能，引导我们多角度思考问题，从而养成良好的思维品质。在贯彻一题多解的教学方法时，我们也不能一味的追求多解，要根据实际题目去应用，否则就不能达到一题多解的目的。

参考文献：

[1]张秀英，浅谈圆锥曲线定义解题，中国科教创新导刊，2010 （32）。

[2]任春玲，巧用圆锥曲线定义解决有关最值问题，试题与研究教学论坛，2012 （7）。

[3]杨万机，浅谈高中数学- -以圆锥曲线定义的运用为例，数学学习与研究，2011 （15）。

[4]韦寿朋，高考中圆锥曲线问题剖析，数学爱好者（高考版），2007 （10）