高中数学例题中导数的典型性应用

张倬润

在学习高中数学时，若能熟练运用导数的有关理论知识，那么在解题过程中便能把习题化简并快速作答。这样不但能丰富自身的解题思维，还能从中发现数学的魅力。本文将主要围绕导数展开分析，探究其在高中数学例题中的典型性运用。

导数是高中数学知识中的重点内容。在鉴别函数的单调性、求证不等式、曲线求解时，应用导数不但能提高解题速率和答案的准确性，而且还能用其处理实际问题。鉴于此，身为一名高中生，必须要掌握导数在数学例题解答中的典型性运用，以此获得事半功倍的学习效果。

一、导数的定义

众所周知，导数是微积分中最重要的一个基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

当某一函数存在导数时，便可将此导数叫做微分或者此导数可导。可导的函数必须是连续性的。然而针对导数来讲，本质就是一个解极限的数学过程，而针对导数的四则运算法则而言，几乎源自于极限的运算法则。（张梓萱.导数在高中数学解题中的应用浅析[J].学周刊，2018（06）：49-60.）

二、高中数学例题解答中导数的典型性运用

（一）导数的运用

高中数学课程里，函数知识理解和学习起来比较吃力，但又是我们必须要掌握的重点内容。在导数未正式引进教材前，关于函数最值的求解形式众多。然而，在其列进数学教材后，在求解函数最值时，又多了一种全新的解题思路。与其余方法做对比，此种办法不但非常简单，还能节省较多时间。

函数知识中的最值问题，是最易出现的知识考点。求解二次函数最值的相关题目逢考必出。这样一来，若是能利用好导数，则能简化求解过程，可以迅速地鉴别函数的单调性等等。因此，在例题解答中，必须要明确二次函数值与区间的联系。（朱文睿.导数几种问题的解题思路与分析[J].中国校外教育，2017（30）：79-80.）

（二）利用导数来判断函数的单调性

利用导数来判断函数的单调性或单调区间，可有效地展现出数型结合本身的涵义。当我们在鉴别函数是否是单调时，惯用的办法以定义法为主。然而，站在定义法的角度分析，其本身虽然利用率较高，然而在展开一些复杂函数例题时，往往表现得比较吃力。但利用导数来判断函数的单调性则十分迅速与便捷，而且，这一点对无论是简单的亦或是繁杂的函数都适用。

比姐利用导数開展函数单调性的推断，其主要根据是若函数f（x）的导数在此函数的区间[a，b]大于0，那么此函数必然是单调递增的。

（三）导数求解不等式

就不等式与函数来讲，二者都是高中数学中出现率较高的题型。通过归纳总结考试的知识要点，可知现在考试重点渐渐偏向综合形式。关于不等式与函数二者间的联系也愈来愈紧密。比如，我们可运用导数知识来求证不等式。

例1：当X>0时，请验证不等式1n（x+1）>x-1/2*x2。

分析：在看到此题目时，我们常常会被繁杂的、需要证明的不等式搞的不知所措，不知从何下手。然而若在解题过程中能有效地运用导数，无疑会起到事半功倍的效果。而通过构建函数来验证此不等式，是一种非常有效的办法。

解：设f（x）=1n（x+l）-x+1/2*x2，那么f（x）=1/（x+1）-1+x=x2/1+x，当x>0时，f（x）>f（0）=0；当x>-1时，f（x）>0，f（x）在（-1，+∞）属于增函数，从而可知当x>0时，In（x+1）>x-1/2x2。

利用导数知识来验证不等式，重点在于构造新的函数。此办法在未来学习中同样能得到广泛运用，例如在学习高等数学时。

（四）运用导数处理实际问题

当在解题的过程中，时常会碰见各种各样与生活息息相关的习题。比如：某市有两幢建筑物，这两幢建筑物被区分成甲、乙类，其中甲类建筑物位于一条小溪旁，这条小溪为a点，而乙类建筑物则位于甲类建筑物相同方向但30千米开外的b点，乙类建筑物的垂足d与a点间的距离为40千米，若想在甲乙两幢建筑物间的小溪沿岸搭建一个供水站c，而c点连接到甲乙建筑物的管线资金为4A，请问c点建在哪一位置才能节约a管线的资金。

有关以上这类问题，解答重点在于把变量变换成函数等式。在解题时，率先要依据题目里的内容绘画出相应图形，之后依据题目里提供的条件，去深入探究内在关联，然而以此为前提创建函数关系式，实际上就是把函数、数学模式等问题转变成专业的数学用语，之后依据问题特征，把问题予以形象化，从而搜寻最佳的解题方法与技巧。

导数和几何、物理、代数知识间有着十分紧密的联系，放在物理中可用于求解加速度与速度；放在几何中则可求解切线。在其他学科范围内，导数还叫做纪数，不论是几何学还是物理学，亦或是经济学，其中有大量主要定义都能通过导数来解释和阐述。简而言之，若想要正确地把导数知识运用在具体学习的解题进程中，率先要做到的便是深刻理解与掌握有关导数的公式与定义。不论是在切线、函数值、三角函数、不等式或是其它数学问题，均能运用导数。我们高中生也能在运用导数解题的过程中，不断加强数学思维。

综上所述，我们要充分意识到导数的重要性，加强导数在高中数学例题解答中的运用，化繁为简，让解题过程越来越直观，从而加决解题速度，提高学习水平。