探析数学解题中无处不在的导数
2018-10-16邓泽宇
邓泽宇
在高中数学的学习中，笔者发现导数具有化繁为简的神奇作用，可快速解决多种复杂的数学问题，其也是高考重点考核内容之一。本文基于对导数概念的理解，分析导数在函数问题、不等式、线切和几何等问题的具体应用，希望能给广大读者提供一些新的解题思路。
导数在高中数学的学习中有重要位置，在多种题型中都可以应用。作为高中生的我们往往因为对公式记忆不敏感、无法准确理解习题中的信息点而导致解题过程中出现困难。为更好的发挥导数的解题价值，我们需要对其定义与概念进行深入理解，从而分析其在各种习题中的运用方式。
一、对导数的理解
导数作为数学微积分的基础内容，在相关计算过程中，自变量的增加或趋向为零时，因变量本身的增量为自变量增量之间的极限值。若一个函数中有导数的存在时，可以称其为可导或可微分，导数存在的函数一定是具有连续性的，同样如果不具有连续性的函数绝对是不可导函数。导数的本质就是求极限值的过程，而导数的四则运算法则，大多数来自于极限值的运算规律。高中阶段如果熟练掌握导数相关知识点，会在很多数学问题起到推进作用，尤其是解决曲线方程或函数等一类的问题，效果更是十分显著。
二、导数在函数问题中的运用
（一）单调性的判断
合理的运用导数，其方法本身就能够提高判断函数单调性与值域的效率。在判断函数单调性的日勺候，可以通过利用导数来进行处理，利用导数符号来对函数增加或减弱进行评判，这也是奥数里结合相关意义来研究曲线变化规律时其中一种方式。基于这一角度来说，它可以对数形结合本身的概念与思想进行充分表达。在判断函数单数性的时候，比较常用的方法是“定义法”。例如：求f（x）=X3-3x函数的单调性与单调区间。通过分析，首先对函数f（x）求导，并得出不等式f（x）>0以及f（x）<0的解，f（x）>0的解为增区间，而f（x）<0的解为减区间。根据对函数定义的理解，并根据上述分析可知f（X）=x3-3x得f（x）=3x-3=3（x+1）（x-1），由此可得出上述函数单调增区间是（-∞，-1）以及（1，+∞），以此得出-1
（二）最值与极值的区分
在导数的应用时，最值也是常用问题，其作为高中数学内容中的关键难点，在解决该问题时常常需要多种技能，结合对应合理的解题方式。而利用导数解决最值问题时，可将繁琐的解题步骤逐步简化，使解题过程更加清晰明确，有利于我们对于知识点掌握。
例如：求函数f（x）=x2-x+1在区间[-3，0]上的最值，运用导数计算可知函数y=x2-x+1，y=2x-1，令y=0，所以x=1/2，f（-3）=13，f（1/2）=3/4，f（0）=1，得出在区间内最大值为13，最小值为3/4。
例2：函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f（X）是否等于零，由题可知M=m，所以y=f（x）是常数函数，得出f（X）=0。
在相关内容学习时，有部分同学会对相似的数学概念有所混淆。例如：平均与瞬间两手凌化率，有同学常常以为函数在其中一点的导数值就是瞬间速率，而在函数问题中，极值与最值的概念也常常分不清，将最值当做极值，忽略其区间的限制，从而导致解题的失败。如果f（x）在[a，b]中最值时从（a，b）中可取，则最值就是极值，但是最值也可能在[a，b]的两端a，b上得到。
[1]例如：函数f（x）=x4-4x（|x|<1），求是否有最值，通过导数运算得f（x）= 4x3-4=4（x-1）（x2+x+1），則f（x）=0，得x=1。又x∈（-1，1），可知该方程无解，故函数f（x）在（-1，1）上既无极值也无最值。最值与极值是不同概念，除了掌握定义，还需要强化我们的归纳推理能力，加强对公式的理解。（王明权.浅析高中导数教学[J].亚太教育，2016（03）：45.）
三、导数对于不等式与实际问题的解决
（一）利用导数求证不等式
在高中数学学习过程中，函数与不等式都是较为常见的题型，而且通过对近几年来考试内容的分析与判断，相关题型逐渐转变为综合题，两种题型之间关系也转变的更加密切，例如：证明不等式f（x）>g（x）时，可利用M（x）=f（x）-g（x）为辅助函数来对M（X）进行求导，以此来判断M（x）大于0或小于0，从而对M（x）单调性进行判断，对不等式f（x）>g（x）进行证明。通过上述案例可发现，在相应问题中可以直接通过导数方式来对不等式问题进行求证，导数求证方法通常适用于可成立于某区间的不等式。
（二）实际问题中导数的运用
在高中数学学习过程中，会遇到许多与生活有关的习题，如这道较实际的问题：某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，使得所用材料最节省？在解决此问题时，首先要将问题中的未知量用字母来代替，设圆柱的高为h，底面半径为R。根据圆柱体的表面积公式s（R）=2πRh+2πR2及圆柱体积公式V=πR2h（定值），经过整理、简化可以得出S只有一个极值，并且使最小值点，从而可知当饮料罐的高与底的直径相等时，所用材料最节省。所以在解析此类题时，要利用数形结合技巧，按照题目考虑其图像及所用公式，再根据题目中条件与问题之间的关系建立关系式，将文字语言转为数学公式来求得最终结果。（张圣官.导数——高中数学的一个交汇点[J].数学教学通讯，2005（3）：28-30.）
四、导数在解题时的应用
（一）斜率问题的处理
高中学习时，导数与物理、几何、代数等问题之间又有着密切的关系，运用导数运算可以在几何问题中求线切，在物理学习中可以求出速度与加速度。
以切线问题为例：曲线Y=x4的一条切线q与直线x+4y-8=0垂直，求q的方程，在上述题目中，可以先设切点为P（X0，Y0），因为直线斜率，所以求得直线斜率为，又因为切线q与直线垂直，所以可知切线的斜率为4，所以Y=x4在点P（X0，Y0）处的导数为4，在令y|x-x0=4x03=4，可以得出x0=1，y0=1，再根据点斜式方程y-y0=k（x-x0），可以求出切线q的方程为4x-y-3=0。
例2：求曲线y=x3+x2+1在P（-1，1）处的切线。本题可以可知点P在曲线上，所以解出y'=3x2+2x，进而可得K=yIx=-1=3-2=1，所以可以得出切线方程为y-1=x+1，即x-y+2=0。因此只要运用导数运算得出曲线所对应的方程式。在切线问题中，导数可以简化做题步骤，优化学习过程。
（二）生活中导数的应用
在其他领域中，导数也可以称作纪数，不管是经济学、几伺学中很多问题者巨汀以利用导数来进行学习，如果想要更准确的将导数知识融合在实际问题的解决过程中，首先需要掌握导数的公式与相关概念，在高中数学学习过程中，三角函数、极值、切线等数学问题都可以通过运用导数办法来将习题剖析，逐一梳理原本困难的步骤，将解题过程多样化，从而提升高中数学做题效率，进而提高数学成绩。在生活问题中也可以利用导数概念进行分析，从而得到解决方案。例如：常出现求利润最大、效率最高等问题时，可称其为优化问题或者最值问题，利用导数定义将其转化为函数问题，进而求得函数中最值。
综上所述，掌握导数的概念并能在习题中熟练运用可以解开很多有关函数的问题，同时对于其他方面的习题，导数同样对其产生着非常积极的作用，如果高中阶段能够顺利掌握导数相关知识点，定会在做题过程中起到事半功倍的作用。
