一类考虑捕捞和避难的生态传染病模型

康爱花

(朔州师范高等专科学校, 山西 朔州 036000)

生态传染病模型是生物数学的一个分支[1],它主要是研究传染病在不同种群之间的传播,因为自然界的种群之间不是孤立的,彼此之间竞争栖息环境、竞争食饵等。Kooi等人[2]详细研究了传染病在捕食者中传播的生态传染病模型的稳定性。

对捕食模型添加捕捞项和避难项的相关研究是最近几年来生物数学中的两个研究热点。避难项主要有两种类型[3]:一是所谓的“常数避难”,即x-m;二是所谓的“按一定比例避难”,即(1-m)x,如文献[4]建立了食饵具有避难项的生态传染病模型。捕捞对被捕捞种群的数量影响也很大[5],这种影响直接取决于捕捞的方法,不合理的捕捞可能导致种群绝灭,也可能使种群稳定生长,如文献[6]建立了具有捕捞项的生态传染病模型。

1 模型建立

目前很少文献涉及既考虑捕捞项又考虑避难项的生态传染病模型,本文在文献[7]的基础上,添加了捕捞项和考虑避难项,食饵具有Holling III功能性反应的生态传染病模型,建立模型如下:

(1)

在模型中,S(t)、I(t)、Y(t)分别表示t时刻易感食饵、感染食饵和捕食者的数量;参数r表示食饵的内禀增长率、k表示食饵的环境容纳量、β是疾病的传染率、c和d分别表示感染食饵和被捕食者的自然死亡率,(1-m)I是感染食饵躲藏捕食者的数量,q1E1、q2E2、q3E3分别是对易感食饵、感染食饵和捕食者的捕获量。假设模型中所有参数都是非负的。

2 稳定性分析

2.1 有界性

证明 令ω=μS+μI+Y,

对上式求导,可得

(2)

这里

θ=min{μq1E1,(μ(c+q2E2)),(d+q3E3)},即

(3)

求解上述一阶线性微分不等式,可得

I(0),Y(0))e(-θt)

(4)

2.2 平衡点的存在性

当条件r>q1E1成立时,平衡点E1存在;

当条件rkβ>rc+rq2E2+kβq1E1成立时,平衡点E2存在;

当条件μ>d+q3E3,rk>(r+kβ)I*+kq1E1,βS*>c+q2E2同时成立时,正平衡点E*存在。

2.3 平衡点的局部稳定

(5)

通过判断其特征根的正负来判断相对应平衡点的局部稳定性。

(i)如果条件r

(ii)如果条件rkβ

(iii)如果条件μ

(iv)如果条件μ2α(d+q3E3)<4(μ-d-q3E3)3(1-m)2成立时,正平衡点E*是局部稳定的。

关于正平衡点E*的特征方程为

μ3+B1μ2+B2μ+B3=0

(6)

显然B1>0,B3>0,如果μ2α(d+q3E3)<4(μ-d-q3E3)3(1-m)2时,B1B2-B3>0。根据Routh-Hurwitz判据[8]可知,正平衡点E*是局部稳定的。

2.4 平衡点的全局稳定性

通过构造Lyapunov函数,我们可以判断各平衡点的全局稳定性。

证明 构造Lyapunov函数为：

(7)

对式(7)求导,可得

(8)

由此可见,平衡点E0是全局稳定的。

定理1.3 如果条件βk-c-q2E2<0成立时,平衡点E1在区域Σ={(S,I,Y):S>0,I>0,Y>0}上是全局稳定的。

证明 构造Lyapunov函数为：

V=μI+Y

(9)

对式(9)求导,可得

≤μ(βk-c-q2E2)I-(d+q3E3)Y

(10)

因此,模型(1)的极限系统为：

(11)

显然平衡点E1是全局稳定的。

定理1.4 如果条件d-μ+q3E3>0成立时,平衡点E2在区域Σ={(S,I,Y):S>0,I>0,Y>0}上是全局稳定的。

证明 构造Lyapunov函数为：

V=Y

(12)

对式(12)求导可得

(13)

所以平衡点E2是全局稳定的。

3 结论

本文建立了考虑捕捞项和避难项的生态传染病模型,且食饵具有Holling III的功能性反应函数,主要讨论了模型各平衡点的存在性以及局部、全局稳定性。具体结论如下:

1)避难项m只影响正平衡点E*的局部稳定性;

2)捕获量q2E2、q3E3影响边界平衡点E1和E2的全局稳定性。