21世纪新建混凝土坝的混凝土力学参数经验公式拟合优化

王 志 周 勇 黄耀英 何金文

(三峡大学 水利与环境学院， 湖北 宜昌 443002)

混凝土是一种抗压强度高、抗拉强度较低的脆性材料．大坝混凝土是一种体积大、含筋率低、施工期水化热大、运行期受外界环境影响大、易产生裂缝的材料．充分掌握混凝土材料力学性能是防止和控制大坝混凝土裂缝的必要条件之一．目前，获取大坝混凝土力学性能参数主要有3种途径：一是在室内或现场开展一系列混凝土力学性能测试，获取力学性能参数；二是基于大坝原型观测资料反演推求混凝土力学参数；三是基于大量试验资料，采用数理统计拟合大坝混凝土力学性能参数经验公式，估算混凝土力学参数．由于混凝土的力学试验难度大、耗时长、成本高，因此通过有效拟合现有大坝混凝土力学参数经验公式，可为一些试验条件受限、无法开展混凝土力学性能试验的中小型水电工程提供混凝土力学参数估计值．大坝混凝土力学参数经验公式具有重要的工程参考价值．

20世纪90年代，朱伯芳院士[1-2]基于大量试验资料，采用数理统计的方法对混凝土轴向抗拉强度与抗压强度的关系、混凝土极限拉伸与抗拉强度、抗压强度的关系以及弹性模量与抗压强度的关系进行了经验公式拟合．2000年之前，国内外学者常用指数式混凝土弹性模量经验公式[1]，指数式的弹性模量经验公式与试验资料误差较大，朱伯芳院士[3]曾提出混凝土弹性模量的双曲线、复合指数经验公式，并指出对于常规混凝土，复合指数经验公式与试验资料吻合效果较好．近年来碾压混凝土的应用渐多，在分析实际工程资料后朱伯芳院士[3]提出，因碾压混凝土早期弹性模量发展较慢，双曲线经验公式与试验资料吻合得更好一些．U.S.Bureau of Reclamation[4]针对常态混凝土给出了极限拉伸值的双曲线经验公式．姜福田[5]针对观音阁碾压混凝土给出极限拉伸值的双曲线经验公式．朱伯芳院士[1]给出极限拉伸值的修正对数经验公式与双指数经验公式，经验公式计算值与试验值符合较好．但是现有经验公式主要是基于2000年之前修建的混凝土坝的混凝土力学参数拟合得到的．随着筑坝技术的不断提高(如水胶比越来越低，外加剂和掺合料的广泛使用等)，混凝土材料性能相应大幅提升，上述经验公式对21世纪新建混凝土坝坝体混凝土力学参数的适应性有待检验．

本文搜集了溪洛渡[6]、锦屏一级[7]、向家坝[8]、拉西瓦[9]、小湾[10]、构皮滩[11]、桐子林[12]共7个2000年之后修建的典型混凝土坝坝体混凝土的力学性能参数，包括抗压强度、轴向抗拉强度、极限拉伸变形、弹性模量的数据资料，对现有的典型混凝土轴向抗拉强度与抗压强度、极限拉伸与抗拉强度、极限拉伸与抗压强度、弹性模量与抗压强度的经验公式的适用性进行了检验，结合数理统计方法及原有经验公式框架，进行了经验公式的拟合优化，得到了更符合21世纪新建混凝土坝坝体混凝土的力学参数经验公式．

1 混凝土轴向抗拉强度经验公式拟合

中国钢筋混凝土设计规范(TJ10-74)和欧洲混凝土委员会建议的混凝土轴向抗拉强度与抗压强度的关系表达式为

Rt=0.232Rc2/3

(1)

式中，Rt为抗拉强度(MPa)；Rc为抗压强度(MPa)．

20世纪90年代，朱伯芳院士根据中国水利水电科学院的试验数据，将公式修正为：

Rt=0.332Rc0.60

(2)

根据前述7个典型工程混凝土力学性能资料，将收集到的77组混凝土抗压强度与轴心抗拉强度的数据组成一个样本，将样本中的抗压强度的数据逐一代入朱伯芳院士提出的经验公式中计算轴心抗拉强度，经验公式计算值与对应的实测值或试验值对比，计算相对误差，绘制了相对误差的直方图正态分布图如图1所示，从图中可看出误差相对集中在5.97%～23.06%区间段，占据了样本总量的72.72%，平均误差为15.60%．

图1 经验公式相对误差直方图正态分布图

对前述7个典型工程的混凝土力学性能资料，借用式(1)和式(2)的基本框架，运用Matlab进行拟合，拟合后的轴向抗拉强度与抗压强度的关系曲线如图2所示，轴向抗拉强度与抗压强度新的表达式为：

Rt=0.119Rc0.883

(3)

图2 混凝土轴向抗拉强度与抗压强度的关系

由图2可以看出：经验公式与拟合公式都能反映出轴向抗拉强度与抗压强度的分布规律，但是大多数轴向抗拉强度实测或试验值较均匀地分布在拟合公式曲线两侧，而经验公式曲线在数据点的两端拟合较差．朱伯芳院士所提出的经验公式主要是基于20世纪修筑的大坝的数据，混凝土水灰比普遍偏高，原经验公式主要反映高水灰比混凝土的力学性能，而本文选取的21世纪新建的工程水胶比逐渐降低，拟合公式主要反映低水胶比混凝土的力学性能．结合式(2)、式(3)及图2可看出，当龄期较小时，高水胶比的混凝土抗拉强度随抗压强度的增长关系比低水胶比的混凝土更快，当龄期较大时，混凝土抗压强度较大，低水胶比的混凝土抗拉强度与抗压强度的增长关系比高水胶比的混凝土快．

拟合公式的相对误差与朱伯芳院士所给的经验公式的相对误差对比如图3所示．系数优化前，样本相对误差的均值为15.60%，标准差为0.139，系数优化后，样本相对误差的均值为11%，标准差为0.102 5，说明拟合后的公式一定程度上能降低误差，计算结果更加接近实际值．

图3 系数修改前后的相对误差

2 混凝土极限拉伸变形经验公式拟合

混凝土的极限拉伸变形经验公式常与抗拉强度或抗压强度有关，以下分别进行拟合优化．

2.1 混凝土极限拉伸变形与抗拉强度经验公式拟合

极限拉伸变形εt随着抗拉强度Rt的增加而增加．因此，一些文献建议采用线性公式来表示混凝土极限拉伸变形与抗拉强度的关系

εt=a+bRt

(4)

朱伯芳院士通过理论分析指出该公式与实际情况不符，并根据大量的试验资料，提出混凝土极限拉伸变形与抗拉强度的关系式为[1]

εt=0.55Rt0.5·10-4

(5)

式中，εt为极限拉伸；Rt为抗拉强度(MPa)．

依据上述收集的7个典型工程混凝土力学性能的数据资料，对朱伯芳院士提出的经验公式进行验算，经验公式计算值与实际值相对误差的直方图正态分布图如图4所示，误差主要集中分布在0.20%～17.42%，占总样本的74.35%，样本平均误差为12.59%，误差分布规律与正态分布符合程度较高．

图4 相对误差直方图正态分布图

通过Matlab数据拟合的方法，根据收集到的6个典型工程混凝土力学性能的数据资料进行回归拟合，得到极限拉伸与抗拉强度的关系曲线如图5所示，根据拟合结果得到极限拉伸变形与轴拉强度新的表达式

εt=0.657Rt0.422·10-4

(6)

图5 极限拉伸与抗拉强度的关系

从图5可看出：极限拉伸变形与抗压强度之间具有较明显的规律性；经验公式与拟合公式曲线都能反映出极限拉伸变形与抗拉强度的变化关系，但新拟合公式居于数据点中部，而原经验公式偏于数据的下限值．结合式(5)、式(6)以及图5可得出，随着水胶比逐渐降低，混凝土极限拉伸随着抗拉强度的增大而增大；相同抗拉强度条件下，低水胶比的混凝土极限拉伸比高水胶比的大，说明降低水胶比在一定程度上能增强混凝土的抗裂性．

图6反映了系数优化前后，各工程的相对误差：系数优化前误差均值为12.59%，优化后均值降低为9.54%；标准差优化前为0.0909，进行系数优化后降低为0.0766．系数优化后相关性更高．

图6 系数优化前后相对误差对比

2.2 混凝土极限拉伸变形与抗压强度的关系

对于混凝土极限拉伸变形与抗压强度的关系，朱伯芳院士将抗拉强度与抗压强度的关系式(2)代入极限拉伸与抗拉强度的关系式(5)中，得到极限拉伸与抗压强度的关系式为

εt=0.317Rc0.30·10-4

(7)

式中，εt为极限拉伸；Rc为抗压强度(MPa)．

依据上述收集的7个典型工程混凝土力学性能的数据资料，对朱伯芳院士提出的经验公式进行验算，经验公式计算值与实际值对比，相对误差的直方图正态分布图如图7所示，误差主要集中在3.41%～6.80%、10.18%～20.34%两个期间段，平均误差为10.61%．

图7 相对误差直方图正态图

采用与前面相同的拟合方法，对上述统计的7个典型工程混凝土的资料重新进行回归拟合，极限拉伸与抗拉强度的关系如图8所示，根据拟合结果得到极限拉伸与抗压强度新的关系式

εt=0.242Rc0.406·10-4

(8)

从图8可以看出：极限拉伸变形与抗压强度有较明显的规律性，随着抗压强度的增大，极限拉伸也在增大．原经验公式和拟合公式都能反映出极限拉伸与抗压强度的变化关系，但是离散点前者主要分布在经验公式的曲线上方，而后者较均匀的分布在拟合公式对应的曲线两侧，经验公式大致代表了极限拉伸的下限值，而拟合公式大致代表极限拉伸的平均值．

图8 混凝土极限拉伸与抗压强度的关系

结合式(7)、式(8)以及图8可得出，随着水胶比逐渐降低，混凝土极限拉伸随着抗压强度的增大而增大；相同抗压强度条件下，低水胶比的混凝土极限拉伸比高水胶比的大，说明降低水胶比在一定程度上能增强混凝土的抗裂性．

对样本总体而言，系数优化前误差均值为10.61%，优化后均值降低为8.32%，图9反映了系数优化前后，各工程的相对误差，标准差优化前为0.078 3，优化后降低为0.053 7；极差由27.08%降为20.76%，显然，参数优化后新的经验公式更能代表离散点的变化规律．

图9 系数优化前后相对误差对比

3 混凝土弹性模量经验公式拟合

中国建筑科学研究院指出[1]建议的混凝土弹性模量与抗压强度的关系为

E=105/(2.2+33/Rc)

(9)

式中，E为弹性模量(MPa)；Rc为抗压强度(MPa)．

基于上述收集的典型工程混凝土的数据资料，对中国建筑科学研究院给出的经验公式，计算值与实际值对比，绘制了经验公式误差直方图正态分布图如图10所示，经验公式计算出的结果与实际值偏差较大，主要集中在12.51%～20.85%，平均误差为15.72%．

图10 相对误差直方图正态图

通过Matlab数据拟合，得到轴向抗拉强度与抗压强度新的表达式(10)，弹性模量与抗压强度的关系曲线如图11所示．

E=105/(2.03+29.66/Rc)

(10)

从图11中可看出，抗拉强度逐渐增加，弹性模量也逐渐增加，但弹性模量数据的离散程度较高，拟合公式比原经验公式略微接近平均值，但优化效果并不显著．离散程度较高的主要原因有：纳入统计的弹性模量数据是室内试验所得，为了减小室内试验难度，通常把大骨料筛去，室内试验与实际配合比不一致，试验结果偏大；Matlab数据拟合方法的原理是最小二乘法，只能保证误差的平方和最小，不能具体描述离散程度，所以拟合公式计算值离散程度依然很高；公式中的参数为固定值，无法反映如龄期、级配这些可变因素．

图11 弹性模量与抗压强度的关系

结合式(9)、式(10)及图11可得出，随着水胶比逐渐降低，混凝土弹性模量随着抗压强度的增大而增大；相同抗压强度条件下，低水胶比的混凝土弹性模量比高水胶比的大．图12反映了系数优化前后各工程的相对误差对比情况．

图12 系数优化前后误差对比

4 结 语

基于经验公式估算是快速获取混凝土力学性能的重要途径，本文基于21世纪新建的7个典型混凝土坝工程力学性能参数数据，对现有的混凝土力学参数经验公式的适用性进行了检验，结合数理统计方法对经验公式参数进行了拟合优化，具体结论如下：

1)拟合优化后的混凝土轴向抗拉强度与抗压强度关系式为Rt=0.119Rc0.883，与常用经验公式Rt=0.332Rc0.60相比，样本相对误差均值由15.60%下降至11%．

2)混凝土极限拉伸与抗拉强度、抗压强度的关系，朱伯芳院士提出分别用εt=0.55Rt0.5·10-4和εt=0.317Rc0.30·10-4表示，拟合后的公式为εt=0.657Rt0.422·10-4、εt=0.242Rc0.406·10-4，原经验公式大致代表极限拉伸的下限值，而拟合后的公式大致代表平均值．

3)混凝土弹性模量与抗压强度的关系，中国建筑科学研究院给出E=105/(2.2+33/Rc)，拟合后的公式为E=105/(2.03+29.66/Rc)，弹性模量离散程度较大，拟合公式比原经验公式更接近平均值，但优化效果并不显著．

4)早龄期，低水胶比的混凝土抗拉强度随抗压强度增长的增长率比高水胶比的大；晚龄期，低水胶比的混凝土抗拉强度随抗压强度增长的增长率比高水胶比的大．随着水胶比的降低，混凝土极限拉伸和弹性模量均变大，混凝土的塑性增强，说明降低水胶比在一定程度上能增强混凝土的抗裂性