带关闭期的随机N-策略的 M/G/1 排队模型的适定性

艾合买提·阿不来提,张 文

(1. 新疆财经大学应用数学学院,新疆乌鲁木齐830012；2. 厦门大学数学科学学院,福建厦门361005)

1 预备知识

众所周知,近年来许多学者对随机N-策略下的排队系统进行了深入的研究(见文献[1-14]和其中引用的参考文献). Yadin等[1]首次考虑了随机N-策略下的排队系统．之后很多学者广泛地推广了这类系统．例如,Kella[2]研究了带假期的N-策略M/G/1排队系统．Borthakur等[3]将带有指数性启动时间的M/M/1排队模型[4]推广到了带有一般启动时间的情况．Lee等[5]研究了带单休假和多个假期的批量到达的N-策略M/G/1排队系统．1991年Takagi[6]给出了关闭期的概念,有很多学者对这类排队模型进行了研究．Ke[7]给出了一类具有故障、启动及关闭期的M/G/1排队系统并对其进行了研究．Liu等[8]讨论了带启动和关闭期的N-策略下的两种不同类型的M/G/1 排队系统．具有随机N-策略的M/G/1排队模型也被许多作者进行了研究[9-10]．Feng等[9]通过向量马尔科夫过程的方法研究了带关闭期的随机N-策略和休假策略的M/G/1排队模型并且得到了该系统处于稳态的充分必要条件.

本文中在以下假设下讨论该排队模型:

1) 顾客到达时间间隔τn是相互独立且服从同分布,服从于参数为λ-1(λ>0) 的负指数分布,即

P{τn≤t}=1-e-λt,n=1,2,….

3) 以上都是相互独立的随机变量.

4) 顾客进入系统后要等到服务开始.

5) 服务基于先到先服务的规则进行,系统有无限的排队空间.

本文中根据 Hille-Yosida 定理,Phillips 定理与 Fattorini 定理,证明具有多个工作休假和休假中断的M/G/1 排队系统存在唯一非负的满足概率条件的时间依赖解.

根据文献[9],该模型可表示如下:

(1)

λpi-1(t,x),i≥2,

(2)

j=1,2,…,i-1,

(3)

i=1,2,…,

(4)

(5)

(6)

i=2,3,…,

(7)

(8)

κi0(0)=di,pi(0,x)=0,i=1,2,…,

q(0,x)=0.

(9)

μ(x)≥0,

ω(u)≥0,

交通强度为

为了方便,引入以下符号:

Γ3=(λ,0,0,…)T,

Γ4=(μ(x),0,0,…).

取状态空间X如下:

X={(p,κ,q)|p∈X1,κ∈Z,q∈L1[0,∞),

‖(p,κ,q)‖=‖p‖X1+|κ|+‖q‖L1[0,∞)},

其中：

X1={p∈L1[0,∞)×L1[0,∞)×…|‖p‖=

显然，X是一个Banach空间．令

pn(x),q(u)均是绝对连续函数，且

对∀(p,κ,q)∈D(A),定义算子A为

如果对 ∀(p,κ,q)∈X定义算子B为如下：

Bq=0,

D(B)=X,

则该模型即方程组(1)～(9) 可转化成 Banach 空间X中的抽象 Cauchy 问题,即

(d1,d2,0,d3,0,0,d4,0,0,0,…),

(10)

(p,κ,q)(0)=((0,0,…),(d1,d2,0,…,

(11)

本文中始终假定

2 主要结果

定理1算子A生成正C0-半群T(t).

i=1,2,…，

(12)

(γ+λ)κi0=πi0,i=1,2,…,

(13)

(γ+λ)κij=λκi,j-1+πij,i=2,3,…,

j=1,2,…,i-1,

(14)

(15)

(16)

i=2,3,…,

(17)

(18)

由式(12)和(15)有

(19)

(20)

由式(19)～(20)以及式(16)～(18)得

a1=p1(0)=

(21)

ai=pi(0)=

λκi,i-1,i≥2,

(22)

b=q(0)=

(23)

将式(23)带入(21)得

(24)

如果应用Fubini定理并且记

(25)

则式(24)和(22)可改写成如下

⟹

(26)

(27)

再由式 (23)得

(28)

这样结合式(19)，(20)以及式(25)～(28)得到

‖(p,κ,q)‖= ‖p‖Y+|κ|+‖q‖L1[0,∞)=

(29)

式(29)表示(γI-A)-1存在并且当γ+λ>M时

(30)

下面证明D(A) 在X中稠密.

令

L=

显然,L在X中稠密的. 如果再令

W={p,κ,q)|p(x)=(p1(x),p2(x),…,pm(x),

0,…),

根据文献[11]直接可以证明W在X中稠密. 因此只需要证明D(A) 在W中稠密即可.

取 (p,κ,q)∈W,则存在ci>0,c0>0 使得pi(x)=0,x∈[0,ci],q(x)=0,x∈[0,c0],i=1,2,…,m. 从而有

pi(x)=0,q(x)=0,x∈[0,2s],

这里

0<2s

令

其中

i=1,2,…,m,

说明D(A) 在W中稠密,换言之,D(A) 在X中稠密.

由以上的结果以及 Hille-Yasida 定理[12]可知A生成一个C0-半群. 易知

B:X→X, ‖B‖≤λ+1

(31)

是有界线性算子,因此根据C0-半群的扰动定理[13]可推出A+B生成C0-半群T(t). 由式(13),(14),(19),(20)知道.如果 (y,π,z) 是正向量则 (p,κ,q) 也是正向量. 因而,(γI-A)-1是正算子. 显然,B也是正算子. 注意到

(γI-A-B)-1=

[I-(γI-A)-1B]-1(γI-A)-1.

(32)

根据式(30)容易可知,当 γ>M+1 时有

‖(γI-A)-1B‖<1,

即

[I-(γI-A)-1B]-1存在且有界,且

(33)

因此 [I-(γI-A)-1B]-1也是正算子. 进而,由式(32) 和 (33) 知 (γI-A-B)-1是正算子. 最后根据文献 [14],推出

因此T(t) 也是正的. 证毕.

定理2系统 (1)～(9) 存在唯一的非负解.

证毕.

3 结 论

本文中主要对带关闭期的随机N-策略的M/G/1 排队系统进行了分析与研究. 主要工作是应用算子理论、 Hille-Yosida定理、Phillips 定理以及 Fattorini 定理证明了 该模型存在唯一的非负解并且满足概率条件. 本文中考虑了该模型时间依赖解方面的问题,据我们所知,至今该模型还没有其他结果. 因此该模型值得进一步研究,例如,该模型时间依赖解的渐进行为等. 这是我们下一个要讨论的话题.