具有第三边界坏死核肿瘤数学模型稳态解的存在唯一性*

沈海双，卫雪梅，刘成霞，冯兆永

(1. 广东工业大学应用数学学院，广东 广州 510520；2. 南方医科大学口腔医院，广东 广州 510280；3. 中山大学数学学院，广东 广州 510275)

在20世纪70年代，Greenspan[1-2]提出早期肿瘤的生长规律是可描述为偏微分方程组的自由边界问题。Friedman等[3]开创性地研究了无死核肿瘤的第一边界问题的数学模型；Cui等[4]考虑了带抑制物的模型；Friedman等[5-6]则研究了无死核肿瘤的第三边界问题。这些文章用严格的数学分析，分析了稳态解的存在唯一性，整体解的存在唯一性和解的渐近性态。文献[7-8]则应用抛物型方程的Lp理论、Schauder估计、比较原理、Banach不动点定理和延拓法，证明了模型整体解的存在唯一性。

在文献[9]中，Byrne 和Chaplain 在肿瘤形状为球形并且肿瘤有坏死核的条件下，提出来下述在营养物作用下肿瘤生长的数学模型：

根据文献[9]，初边值为：

在文献[9-10]中：

为方便研究，取μ0=1并采用变量替换：

则模型简化为：

00

(1)

(2)

(3)

σ(r,t)=σ0, 0≤r≤ρ(t),t>0

(4)

(5)

(6)

(7)

σ(r,0)=σ0, 0≤r≤ρ(0)

(8)

假设(σs(r),ρs,Rs)是模型(1)-(8)的稳态解，即满足以下方程：

(9)

(10)

(11)

σs(r,t)=σ0, 0≤r≤ρs

(12)

(13)

(14)

显然有

(15)

再根据式(6)，得

(16)

注1 模型(1)-(8)的稳态解的存在唯一性等价于式(15)-(16)解的存在唯一性。

故本文旨在研究式(15)-(16)解的存在唯一性，其主要结论为：

定理1 当ξ∈(ξ1,ξ3)时，由式(17)确定的ζ满足ζ′<0。

则式(15)-(16)存在唯一解。其中的ξ,η,ζ,ξ1,C(ξ1)，ξ3的具体表达式参见下一节。

1 相关符号及预备引理

为叙述方便，引进一些符号：

(iii)A1=a4coshξ+sinhξ-a3a4,

A2=a4ξcoshξ+ξsinhξ+a4sinhξ-2a3a4ξ，

A3=ξcoshξ-sinhξ+a4ξsinhξ-a3a4ξ2

因此，式(15)-(16)可分别等价为：

A1ζ2+A2ζ+A3=0

(17)

ξcoshξ-sinhξ+(sinhξ-a1ξ)ζ2+

(18)

并设

f(ξ)=ξcoshξ-sinhξ+(sinhξ-a1ξ)ζ2+

(19)

我们给出几个预备引理：

引理2 (i) 当1

证明(i) 当10,A2>0,A3≥0或A1≤0,A2<0,A3<0, 式(17)显然无正解ζ；

故引理2均得证。

引理3 存在0<ξ1<ξ2<ξ3，使得B1(ξ1)=B2(ξ2)=B3(ξ3)=a3，即

A1(ξ1)=A2(ξ2)=A3(ξ3)=0

根据引理2、引理3可知满足式(15)-(16)的ξ∈(ξ1,ξ3)。

注2 引入简记符号

C(ξ3)=

证明当ξ∈(ξ1,ξ3)时，即a3a4

a4ξsinhξ-2a3a4>

ξcoshξ+sinhξ+2a4coshξ+a4ξsinhξ-

2a4coshξ-2sinhξ=

ξcoshξ-sinhξ+a4ξsinhξ>0

证明

由于

证明当ξ=ξ3时，A1>0,A2>0,A3=0，有

2 稳态解的存在唯一性

定理1的证明以下分三种情况证明：

(i) 当ξ∈(ξ1,ξ2)时，对式(17)式两边求导，可得

即

故有

综上所述，且ζ′显然连续，故当ξ∈(ξ1,ξ3)时，由式(17)确定的ζ满足ζ′<0。

定理2的证明：由定理1可知当ξ∈(ξ1,ξ3)时，ζ′<0，故

定理3的证明：式(19)可改写为

(20)

由引理6，得

又

结合引理5，可知

因此，式(15)-(16)式至少存在一个解。

因此，式(15)-(16)存在唯一解。