基于建构主义的数学解题教学案例分析
2018-10-08付敏
付敏
（南昌市第十中学，江西南昌 330006）
1 教学课题
本文选取的教学课题是函数值范围问题的求解。
2 教学目标
（1）理解函数中自变量与函数值的相互对应和制约关系。
（2）创设问题案例，通过启发来诱导学生发现数学逻辑错误和矛盾，通过由特殊到一般、从具体到抽象，深刻剖析错误原因，培养学生数学思维能力。
（3）通过对学生学习认识策略的指导，培养学生学习反思的良好思维习惯，发展学生智力。
3 教学重点、难点
重点：掌握求函数值及其范围的方法。
难点：理解该方法的原理及内涵。
4 教学方法
本文选取的教学方法是建构式教学法。
5 学生的现状
已学好函数的概念，理解自变量与函数的相互关系及函数值的求法，并能运用函数的知识去解决简单求值问题的高一年级学生。
6 教学过程
6.1 案例呈现
如下一个数学问题：
已知：f（x）=ax2-c, 且 -4≤f（1）≤-1,-1≤f（2）≤5
求：f（3）的取值范围。
有相当一部分同学求解如下：
（设计意图：学生用认知结构中已有的旧知识去解决新问题时，学生往往缺乏联系和学习的积极主动性，教师采用角色换位的解题教学方法，使学生亲身经历解题的过程，让学生产生认识冲突，激发学生探知的强烈欲望，对问题进行“理解”与“消化”达到数学信息多角度的表征。）
6.2 解题策略指导
教学中，该问题（学生的解题思维过程）提出来，供大家讨论，同学们学习兴趣十分高涨，这时，采取对学生积极引导并提出如下质疑：（1）上述问题推理过程是否正确？其推理理论依据是什么？（2）其思维过程是否为等价转化？（3）请你用尝试方式验证结论的极端值是否正确。（4）综上分析，你的最终结论是什么？
学生一般都经历先认为原解法正确再否认的思维过程。其主要思维体现如下：对于引导①，由于理论明显，都归因于不等式的性质。对于引导②，由于暂时性地无法发现错误，很多同学都认为过程为等价变形。待引导③出现之后，大部分学生思维开始又活跃起来。他们积极从如下思考：
当 f（3）=26 时，当且仅当 9a=27,-c=-1
此时 a=3，c=1 从而 f（1）=a－c=2∈[-4,-1]
f（2）=4a-c=11∈[-1,5]
与条件矛盾，可见f（3）不可能到26
当 f（3）=-7 时，当且仅当 9a=0,-c=-7
此时 a=0，c=7，从而 f（1）=a-c=-7 ∈[-4,-1]
f（2）=4a-c=-7∈[-1,5]
也与条件矛盾，可见f（3）也不可能到-7
至此，大家一致认为解答有误，可原因在哪儿呢？
（设计意图：实现学习活动及其构成也不是单纯的个人的进程，而是在于师生、学生间的共同活动，包括一起分析并寻找联系与解答，一起设计与证明，还一起检验与评估其结果，以此创设一个好的“学习共同体”。）
6.3 协作研究探索
通过上述的分析，大家质疑“不等式性质定理3的推论”在解题中使用造成的吗？故师生进入了对不等式的可加性做进一步的思考与分析。
结果发现：定理3的推论：若a>b，c>d则a+c>b+d中，条件“ a>b，c>d”是“ a+c>b+d”成立的充分不必要条件。
本题中，解题思维过程的蕴涵关系如下：
案例中所依据的理论是正确的，但由于违背了等价性的思想和原则，却将问题的范围扩大了。即上述推理虽然得出 f（3）∈[-7，26]，但却不能取满到-7 到 26 之间的一切值。
（设计意图：通过对数学思维过程的分析与思考，加深了学生对数学概念理解，渗透了等价转化的思想方法，达到了实现认识整合，打破认识平衡状态的目的。）
6.4 意义建构，解决问题
我们的问题可以等价地转化为：
求 f（3）=9a-c 的取值范围。
解：设M=9a-c，从而 c=9a-M
故问题又等价转化为：过图象中的区域内EFGH的点（a,c），作斜率为9的直线，求其在c轴上的载距-M的取值范围。
显然，当过点 E（0,1），即 a=0,c=1时 -M 有最大值 1，当过点 G（3,7），即 a=3,c=7 时，-M 有最小值-20。
即有：-20≤-M≤1
∴-1≤M≤20
故所求 f（3）的取值范围为[-1,20]
（注：这里渗透了线性规划的思想和方法）
另解：令 m（a-c）+n（4a-c）=9a-c
用待定系数法，得
①×（-5/3）+②×8/3 得 -1 ≤ 9a-c≤ 20
∴所求范围是[-1,20]
（设计意图：循寻学生心理认识发展的规律，在学生认识经历了“平衡—不平衡”的发展变化之后，不失时机地向学生介绍正确的解题方法与技巧，同化学生的心理认识结构，达到认识的新平衡状态，顺利实现学生对新知识的心理意义建构。）
一种独立的教学模式构建，必须通过对教学模式的长期实践，笔者仅对数学解题模式做出上述初步构建，以期随着建构主义理论的深入学习与后继的教学研究实践使之完善。
