“用数对确定位置”教学研究报告

一、问题

“用数对确定位置”是人教版小学数学教材五年级下册的教学内容，在此之前，学生通过数轴认识到数轴上的点和数存在一一对应的关系，如果确定起点、方向和顺序，则可以用数表示某个点在一条直线上（一维空间上）的位置。那么，二维空间上的点的位置怎么用数表示呢？笛卡尔的坐标系给出了用数对表示点的位置的方法。我们的教学旨在让学生理解并掌握用数对确定位置的方法，感受数与形之间的联系，发展空间观念。

那么，教学用数对确定位置这一内容，我们到底从哪个点切入，才能让学生掌握相关的基础知识，拓宽视野？

1.教学中存在的问题

教材在编写时选用学生熟悉的座位图作为学习材料。老师们在教学这个内容时遇到了两个问题：一是，将内容定位于“数学规定”的教学，教学时停留在用数对表示点的位置，或者反过来通过数对找到相应的点，内容单调枯燥，没有进一步挖掘这一内容的数学意义。学生也无法通过本课的学习，感知后续将要学习的有关坐标系的知识。二是，课本上的座位图是面向学习者，左下方是（0，0）的起点位置，学生能借助坐标确定位置。而学生用数对确认教室当中自己或者其他同学的位置时，由于坐标的起点和方向发生改变，与课本上的方向不一致，学生的空间转换发生困难。如果教师使用教材例题提供的座位图进行教学，学生容易与现实生活中教室的座位坐标混淆，不利于教学目标的達成。

2.对问题的分析

数确定位置这一内容，从空间的角度来说，应该分为三个层次，分别是数轴上的数的位置，平面直角坐标系中用数表示点的位置，空间直角坐标系中用数表示点的位置。我们的内容是在平面直角坐标系中研究用数表示位置，教学设计中，我们可以纵向地承前启后，按照这样的层次设计课堂。

通过研究教材我们发现，教材除了让孩子们掌握用数对确定位置的方法外，还设置了这样的练习让学生理解：数对中数的运算引起图形位置的变化；图形位置发生变化，则表示图形中相应的点的数对的数值也将有规律地变化。简而言之，就是数的变化引起形的变化。为此，我们可以横向地拓展教学内容。在学生学会用数对表示位置以后，可以将平面图形放在平面直角坐标系中进行研究，让学生体验数的有规律的变化引起形的有规律的变化，初步感悟数形结合的思想。

基于以上思考，我们认为在本课的教学中，教师可以创造性地运用教材，借助情境帮助学生掌握用数对表示位置的方法，之后通过丰富的体验让学生感知数对中数的有规律的变化会引起图形的变化，从而感知数与形之间的联系。

二、实践

（一）情境导入，探究新知

师：（课件出示图1）小乌龟和小青蛙是好朋友，小乌龟来找小青蛙玩，调皮的小青蛙故意躲在一片荷叶下面。我们一起帮小乌龟喊：“小青蛙，你在哪？”

生：小青蛙，你在哪？（播放声音：呱—呱—呱—呱，呱—呱）

师：小青蛙在告诉我们它的位置，你们听懂了吗？有什么想说的吗？

生1：小青蛙先叫了4声，再叫了2声，我觉得应该是从左往右数的第四列，从下往上数的第二行。

生2：我觉得是从上往下数的第四行，从左往右数的第二列。

生3：我觉得是从左往右数的第四列，从上往下数的第二行。

生4：我认为是从右往左数的第四列，从上往下数的第二行。

师：（课件出示图2）现在我们一共找到了4个位置，好像都有可能，看来只知道4，2这两个数还不够，小青蛙到底躲在哪片荷叶下面呢？没办法，我们把小青蛙请出来吧！（课件出示图3）原来它躲在这！刚才是谁听懂了蛙语？请你再来翻译一下这个4，2分别表示什么意思。

生1：4表示的是从左往右数的第四列。（板书：4，列）2表示的是从下往上数的第2行。（板书：2，行）

师：有了这些规定，4，2确定的这个点就是小青蛙的准确位置。像这样的一对数，在数学上我们把它叫做数对，并且用括号括起来（4，2），读作“数对4，2”。我们一起读一遍（生读）。今天这节课我们就来玩用数对确定位置。（贴出课题）刚刚我们还找到了其他几个位置，按照这个规定，用数对怎么表示？

学生运用数对表示出其他几个位置，然后教师说数对，让学生指位置。

【设计意图】利用找青蛙的情境巧妙地引出数对，学生初步感知数对可以确定位置。

（二）巩固练习，玩转数对

1.体验数对与点之间的一一对应关系

师：小青蛙除了会呱呱呱，还是抓虫高手，请你用数对将小虫所在的位置告诉小青蛙，让它能够迅速地捉到小虫。（课件出示图4）

生5：（4，3）。

师：嘿！吃掉啦。第二只！（生：略）谢谢你们，在你们的帮助下，小青蛙一下就把所有的虫子给吃光了，请看小青蛙刚刚捉虫的路径，像一个什么图案？（课件出示图5）

生：这个图案像小鱼。

师：我也觉得像。看来小青蛙不但捉虫厉害，还有画画的天赋。为了表示感谢，它画了一幅画送给大家，请看！（课件出示图6）说好的画呢？这不是数对吗？有谁明白小青蛙的意思？

生6：我知道，是要将这些数对表示的点描出来。

师：你们觉得是这个意思吗？请大家打开练习纸，将这些数对所表示的点标出来。（学生动手描点）

师：（课件出示图7）同学们标出来的是这些点吗？这是什么？我们听听小青蛙怎么说。（课件播放：再将数对中的两个数交换位置）原来还没有画完呢。将两个数字交换位置，那A点的两个数字交换位置，还是（2，2），交换后A点还在这里，那其他点交换之后会在哪呢？请同学们接着画。（学生继续描点）标好了吗？现在我们把这些点连起来，（课件出示图8）大家看看这是什么？（生：是一颗爱心）仔细观察这颗爱心，它是我们学过的什么图形？（生：轴对称图形）是的，它就是一个轴对称图形，它的对称轴就在这里。原来我们可以根据数对描出点，并连成图形。

【设计意图】学生根据点说出数对，根据数对描出点并连成图形，充分体验数对与点之间的一一对应关系。

2.体验图形的运动变化与数对行、列变化之间的联系

师：这里有个三角形，它可以用哪些数对表示呢？（生：略）不错！都找对了，这个三角形是可以运动的，别眨眼睛，看它是怎么动的。（生：向右平移了）没错，它向右平移了，此时它的三个顶点的数对又是多少？（生：略）真棒！都找对了，请同学们仔细观察平移后的数对与原来的数对相比，有什么变化？（课件出示图9）

生：列都加了3，行没变。

师：其他同学发现了吗？看来图形变化，数对也会有相应的变化，比如刚才图形向右平移了3格，它的列都加了3，行不变。如果列不变，行都加上一个相同的数，会怎么样呢？（生：会向上平移）真的是向上平移吗？我们试一下。（课件动态演示）看来行增加，它会向上平移；列增加，会向右平移。如果列和行同时加上一个相同的数，又会怎么样呢？

生7：会往右上方平移。

生8：我认为会先往右平移再往上平移，或者先往上平移再往右平移。

师：我们来试一下，（课件动态演示，如图10所示）可以看成是先往右平移5格再往上平移5格，或者先往上平移5格再往右平移5格，都可以到这里。这两次平移加起来就是斜着移，如果此时每个数对的数字同时减去一个相同的数呢？当然是斜着移回来。数对可以加着玩，可以减着玩，还可以怎么玩？（生：还可以乘、除）如果每个数对的数字同时乘同一个数又会怎么样呢？发挥你的想象力！

生9：我覺得会变大。（位置，形状，大小）

生10：我觉得也会平移。

师：到底会怎样呢？这次你们自己试一试。请翻开练习纸，将数对的两个数都乘一个相同的数，看看图形到底有什么变化。（学生动手画，然后汇报）

生11：我都乘了3，我发现图形变大了，位置也变了。

生12：我也发现三角形的大小变了，而且位置也变了。

师：你们都发现它们的大小变了，位置变了，还有什么发现？

生13：我发现这些图形的大小和位置不一样。

师：这是为什么呢？

生13：因为它们乘的数不一样，乘的数越大，图形就会越大，位置也会越远。

师：其他同学还有什么发现吗？

生14：我发现它们的形状没有变！

师：是的，刚刚我们探索发现，乘的数越大，图形也会越大，位置也会越来越远，而形状是不变的。（课件动态演示，如图11所示）

【设计意图】学生初步体会给数对做有规律的运算，图形也会有相应的变化；图形有规律的变化，数对也会有相应的变化。

（三）数对与生活

师：同学们，有了数对，数和形就紧密地联系起来了，在以后的学习当中，我们可以利用数来研究图形，也可以利用图形来探索数。这么伟大的发现，是法国著名的数学家笛卡尔带给我们的。（播放课件，讲述笛卡尔创立坐标系的故事，以及数对在生活中的运用）

【设计意图】学生了解数对的产生以及在生活中的运用，感受数对的价值。

（四）数对抽奖

师：原来数对在生活中的运用也这么广泛，同学们，我们现在所坐的位置可不可以用数对表示？先规定这是第一列，这是第一行，请把自己的位置用数对记下来。接下来我要用数对来抽奖，抽中谁谁就站起来领奖品！

教师第一次抽出（4，3），第四列第三行的孩子站起来领奖。第二次抽出（5，2），第五列第二行的孩子站起来领奖。第三次抽出（3，y），第三列的孩子都站起来。第四次抽出（x，4），第四行的孩子都站起来。

生：老师，他被抽中了两次。

师：你太幸运了！你为什么会被抽中两次呢？

生：我的位置用数对表示是（3，4），因为前面的（3，y）表示的是第三列，后面的（x，4）表示的是第四行，也就是（3，4）这个数对都在里面。

师：说得很好。那我最后抽一次吧！

教师抽出（x，y）。

生：哇，我们全中了！

师：全中了那就都站起来吧！每个人都有奖品，下课！

【设计意图】数对与抽奖游戏融合，向学生渗透用字母表示数的思维方法。

三、讨论

对于“用数对确定位置”这个内容，我们研究时首先思考的就是，如何处理用数对确定位置中规定性知识的教学。我们知道，在平面内，用两个数组成一个有序数对就能表示任意一点的位置（这个看起来非常简单。实则无比深刻的事实是17世纪法国哲学家、数学家笛卡尔发现的）。但是，在平面直角坐标系中，这个数对具体如何书写，行写在前面还是列写在前面，是用括号表示还是用其他方式等有关细节都是一种人为的规定，属于规定性知识。那么本节课，这些规定性知识以什么方式教给学生？应该花多少时间在这些规定性知识的学习上才合适？

通过阅读相关的研究文章与课例，我们发现，很多老师喜欢把这个内容当作一个探究性问题来教，试图重现笛卡尔数对的发现过程。其中不乏一些名师成功的优秀课例。但是，老师们纷纷效仿这种思路进行教学时却常常碰壁，无法达到预期的效果。一个重要的原因就是，行还是列、哪个写在前面、用不用括号等规定性知识都是人为的偶然选择，有它的合理性，却并无多少必然性。实际教学中，如果把握不好，容易陷入死胡同，导致教学进程推进得太慢，大半节课过去了，一个数对的规范写法还没有归纳出来。这就促使我们思考：一节课只围绕数对产生的必要性和表示方法的优化上做文章，有没有必要？一节课就教这些内容，课堂容量是否过小？换句话说，从数学的角度看，我们可不可以适当地多教给孩子们一些东西呢？

由此，我们逐步形成了本节课的设计思路。一是淡化数对的探究教学，将数对的规定性知识变为接受性学习。上课伊始就利用青蛙的叫声提供一个数对。接着，抛出问题“小青蛙藏在哪里？”让学生猜测这个数对表示的意义。这样做的好处是：一方面，学生由于明确了是猜测和理解数对的意义及写法，就不会产生“为什么要这样”的疑问，从而自然地接受这些规定性知识；另一方面，要准确猜测小青蛙的位置，就必须弄清数对书写的细节要求，这也确保了学生对规范书写的学习。二是深挖用数对表示位置的数学价值，渗透数形结合思想。我们知道，用一个有序数对表示平面内任意一点的位置是数学史上一个伟大的发现。正因为如此，老师们教学“用数对确定位置”时都有一个共识：让学生体会数对产生的必要性。然而，不得不承认，小学生要真正理解和体会这一思想是比较难的。小学生没有学过解析几何知识，无法感知笛卡尔的发现给数学带来的飞跃和变化。在他们看来，用两个数组成一个数对表示一个点的位置无疑是可行的，但却没有什么了不起，最多就是用来排个座位而已。我们认为，要让学生对这一思想真正有所体会，恐怕提供给学生的材料还得更数学化一些才行。于是，教学中，我们提出一个大胆的设想，增加一个教学环节，让学生探究数对的变化会引起图形怎样的变化。通过一个个具体的例子，学生观察数对的变化引起了图形相应的变化（轴对称、平移、放大和缩小等），从中感受和欣赏数学的美，体会数对的价值。实际教学中，学生的学习热情很高，无一不被数对变化后所带来的美妙的图形变化所折服。从这节课的研究中我们得到一个启示：原来，像数对的变化引起图形的变化，这种看起来更抽象的、更数学的东西，只要教学方式巧妙也是可以打动小学生的。这种具体的、看得见的数学美其实学生是能够欣赏的。

（执笔：周璟、郑志刚、王树坤、徐旺、李闯）