把握方程特性，合理转化解题

陈尚品

[摘 要] 坐标系与参数方程综合题是高考选做部分的重要题型，对于该类题首先需要理解不同坐标系下对应方程的表达形式，充分掌握方程之间的转化方法，对于其中涉及线段的最值问题需要结合几何知识，利用转化思想将其转化为函数问题或方程问题来求解.

[关键词] 坐标系；参数方程；三角函数；最值；思维

坐标系与参数方程是高中的选修知识，但同样是高考的重点题型，利用不同坐标系建立起的参数方程、极坐标方程往往对于函数曲线、定点坐标有着鲜明的特征表达，由此演变的综合题对于学生的推理、运算能力有着良好的考查作用，对该类题的深入分析对于提升学生的解题能力有着积极的促进作用.

真题解析，试题分析

1. 真题呈现

（2017年全国卷Ⅰ文数第22题） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosθ，y=sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为x=a+4t，y=1-t（t为参数）.

2. 试题解析

3. 试题点评

本题目为典型的坐标系与参数方程的综合题，主要考查学生参数方程与普通方程之间的互化、点到直线的距离以及函数求最值等知识，上述一问求解过程充分利用同角三角函数基本关系中的平方关系，实现了参数方程向普通方程的转化，通过方程的联立求解来求交点；二问则是借助参数方程表述点的便利性，结合点到直线的距离公式，将几何问题转化为三角函数问题，利用三角函数的最值来求解. 求解该类问题需要准确把握方程互化之间的转化公式，利用三角函数的关系来解决，对于其中关于线段的最值问题，则可以利用弦长公式、点到直线的距离公式来表述问题，借助函数思想和方程思想来转化求解.

试题衔接，思路剖析

坐标系与参数方程是高考的重点知识，参数方程、极坐标方程、普通方程之间的互化是其中常见的基本问题，求解时需要借助互化公式来解决. 对于其中涉及线段的最值问题则可以利用转化思想，结合几何知识和代数知识，将问题转化为函数问题，利用函数的有界性和求最值的便利性解题，也可以将其转化为方程问题，通过解方程的方式来求解.

上述问题均为坐标系与参数方程的综合题，都充分利用了互化公式来求解，求线段的最值则充分利用几何知识来表述问题，结合代数知识来求解. 试题1分别借助同角三角函数的平方关系和极坐标转化公式，将参数方程、极坐标方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的最值知识来求解；试题2则是利用转化公式将普通方程转化为极坐标方程，利用几何的垂径定理和点到直线的距离公式建立方程来解题. 坐标系与参数方程的综合题实际上是代数知识和几何知识相结合的问题，是对学生坐标理解、知识综合运用的考查.

解后反思，教学思考

1. 牢固基础知识，把握知识重难点

上述坐标系与参数方程的考题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化、点到直线的距离、弦长公式、函数最值等知识，属于数学的基础知识，对于学生数学能力的提升极为重要，如果对于基础知识理解不够透彻，公式掌握不够牢固，解法运用不够灵活，就难以正确选择解题方向，更无法探索解题思路，尤其是对于结合了众多基础知识的综合题，尤其需要学生注重基础知识的学习，在高中复习的教学阶段，更需要教师进行针对性指导，指导学生关注知识的易错点，理解知识的难点.

2. 总结知识规律，简化解决问题

数学不仅是一门理性的学科，还存在一定的规律结构，无论是问题结构还是解题过程都有着一定的知识规律，对于坐标系与参数方程问题，设问无非就是对于参数方程、极坐标方程和普通方程互化的考查以及相关几何问题的求解，方程的互化需要学生掌握互化的规律公式，对于其中求线段的最值问题则可以采用弦长公式、点到直线的距离公式、垂径定理等规律公式. 因此，对于该部分内容的学习应注重知识规律的总结，总结相应的解题技巧，学习简化问题的方法，通过知识规律的有效总结来实现问题的简便作答.

3. 重视解题思维，学习数学思想

数学的解题过程透露着解题的思维过程，尤其是高考题，是对学生逻辑推理、数学运算等核心素养的考核，即使考题的形式不同，但是问题的复合形式，设问角度以及解题的基本思路是大致相同的，具有良好的数学素养是解决问题的关键. 另外，上述参数方程的解题过程还渗透了转化思想、函数思想和方程思想，合理地运用解题思想可以有效帮助学生理清問题结构，对于探求解题思路极为有利，熟练掌握解题思想是发展学生解题思维的重要条件，在教学中应进行着重讲解.

写在最后

坐标系与参数方程虽是高考的选做内容，但依然是高考的重点题型，其中的方程互化以及线段的最值求解有着多重考查形式，合理利用转化公式，结合相应的几何知识，将问题转化为较为具体的函数问题或方程问题是该类题的解题思路. 在教学中应注重基础知识的学习，把握教学内容的重难点；注意知识规律的总结归纳，掌握相应的解题技巧；关注解题过程，注重解题思维的培养，提炼数学思想，促进学生综合能力的提升.