一类弹簧支撑系统非线性动力学特性实验研究

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(1.石家庄铁道大学 机械工程学院, 河北 石家庄 050043；2. 天津市地下铁道集团有限公司，天津 300384)

非线性动力学的研究方法主要有定量分析法和定性分析法，二者常结合使用。随着工程测试技术的不断发展，对于不能求得精确解析解的非线性动力学系统，研究者越来越注重利用实验的方法探究其动力学特性[1-3]。如陈予恕等[4]的非线性Mathieu方程1/2亚谐分叉解的实验研究，季进臣等[5]的参激屈曲梁的倍周期分岔和混沌运动的实验研究，黄文振[6]的多跨转子-轴承系统振动稳定性试验研究，徐从元等[7]的疲劳金属材料非线性声学特性的实验研究，王萍萍等[8]的卫星振动试验中频漂现象分析研究。这些实验探索既展现了非线性动力学系统的特性，也促使非线性动力学理论研究者发展新的分析方法来处理观察到的新非线性现象，提供直观和精确的实例。现通过对弹簧支撑系统非线性振动试验，定量研究了系统在不同激励参数下的响应曲线及其混沌、分岔、周期、倍周期等非线性动力学特征，验证了数值仿真结果，为该装置在工程中的实际应用提供可靠的实验依据。

1 数学模型

图1 支撑系统动力学模型

开展研究的弹簧支撑系统如图1所示，是由正负刚度弹性元件耦合构成，采用的弹簧均为线性弹簧，考虑阻尼作用，该系统的动力学方程为

(1)

式中，m为质量块质量；k1为斜支弹簧刚度；k2为竖直弹簧刚度；l为斜支弹簧原长； “·”为Z对时间t的导数；c为阻尼系数；a为振动幅值；ω为激励频率；h+d为竖直弹簧在原点O以上的自然长度。

(2)

2 实验设计

图2 支撑系统实验模型

(1)实验模型。对式(2)的运动方程式进行数值仿真分析，确定了振子、弹簧、参数α、激励幅值A等各参数大小。取质量m=3.4 kg；斜支弹簧刚度k1=500 N/m，长度l=0.12 m；竖直弹簧刚度k2=300 N/m，长度H=0.2 m；参数α为0.5～1.5；激励幅值围为15～35 mm，设计加工了实际物理实验模型如图2所示，主体由一根竖直导杆对质量块和竖直弹簧起导向作用，4根斜支弹簧与连接杆通过一个可以自由转动的套筒相连接，质量块和竖直导杆之间通过直线轴承接触，连接杆与支架之间通过螺栓联接，支架与底板之间是刚性联接支架。

图3 数据采集系统图

(2)数据采集。如图3所示[9]，信号采集系统包括数据采集仪、位移传感器、振动实验台3个部分。实验时，以振动台为主激振系统输出激励信号Y=Acos(ωt)竖直方向的激励，支撑模型固定于振动台面上，随振动台激励信号变化而发生振动，通过激光位移传感器测量得到的位移信号由数据采集仪采集信号并实时显示，然后利用Matlab对所采集到的信号数据进行分析研究。需要注意的是同组参数条件下的信号采集要在同一实验环境下一次完成，开始时质量块在平衡位置处于静止状态且当系统运动状态稳定后开始数据采集任务。

(3)系统阻尼识别[10]。对支撑模型系统的阻尼特性识别采用的是功率法，当α=0.67时，其周期T=0.298 s，频率f=3.36 Hz；其相对阻尼系数ζ=0.024；阻尼系数c=3.51。

3 激振频率对系统响应影响的分析研究

图4 系统全局响应分岔图

图5 f=3.3 Hz时系统响应结果对比图

图6 f=4.1 Hz时系统响应结果对比图

图7 f=4.52 Hz时系统响应结果对比图

图8 f=6.21 Hz时系统响应结果对比图

图9 f=6.4 Hz时系统响应结果对比图

图10 f=7.2 Hz时系统响应结果对比图

图5为当激振频率等于3.3 Hz时，激励频率小于振动台交越频率，系统的能量相对较小，发生与激励频率相同的受迫振动，其吸引子收敛于一个点，系统做周期一运动。图6为激振频率等于4.1 Hz时，振动台以1g恒定加速度振动，系统发生1/3和2/3亚谐共振，其吸引子收敛于3个点，系统做周期三运动。图7为激振频率等于4.52 Hz时，系统发生混沌运动。出现许多杂乱无章的点，其频谱在一定频带内为连续峰谱且随激励频率的增加而逐渐消失，系统过渡到周期四稳定解状态。图8为激振频率等于6.21 Hz时，频谱图中出现4个比较明显的峰值，系统发生1/2亚谐共振，其做大周期的周期运动，即周期四运动。图9为激振频率等于6.4 Hz时，频谱图显示系统没有明显的峰值，而是在一定频域内出现连续的峰谱，此时处于混沌稳定解状态，围绕自身的两个吸引域做不规则的混沌运动。图10为激振频率等于7.2 Hz时，系统有周期稳定解，发生1/3和2/3亚谐共振，其吸引子收敛于3个点，做周期三运动。

系统的响应状态在不同的频率范围内随着激振频率的增加发生明显变化，存在稳态解、分频亚谐共振、混沌和分岔等十分丰富的非线性动力学响应现象，且变化规律与数值仿真的转迁规律基本吻合。

4 结论

在参数a和幅值A不变的情况下，就激振频率对支撑系统响应状态的影响进行了数值仿真与实验分析，实验条件下能够得到数值仿真中典型的非线性动力学现象，系统不同的响应状态之间的变化规律基本相同。但在实验条件下，每次激振运动参数不能保证完全一致，由于非线性系统的初值敏感性等因素，得到的混沌响应曲线与利用仿真分析技术精确得到系统的响应曲线存在一定的偏差。

针对此类强非线性支撑系统的实验研究是对该领域实验研究的一个初步探索，还可以对系统的参数进行合理优化，比如改变弹簧的刚度配比，提高实验系统的精度，减小系统的阻尼等，进一步研究此类支撑系统在外界激励下的响应状态的变化规律，探索其在工程领域减振隔振系统方面的应用。