平面刚架中刚性横梁内力的确定

乔朋　谭晶晶

摘要：针对平面刚架中刚性横梁内力的确定问题，利用位移法对带刚性横梁刚架的内力进行了分析。根据该类刚架的受力特点，提出了确定刚性横梁内力的简化计算方法。

关键词：平面刚架；刚性横梁；位移法；内力计算

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）30-0207-02

结构力学习题中经常会出现帶有刚性横梁的刚架内力计算问题，实际工程中一些刚度很大的横梁也可近似按刚性横梁进行处理，从而大大地简化分析过程。但在内力图绘制时，学生往往会忘记计算刚性横梁的内力，又或者错误地认为刚性横梁内力为零。应注意，完整的刚架内力图必须包含刚性横梁的内力，以此作为横梁的强度设计的依据。本文对平面刚架中刚性横梁内力的确定进行研究。

一、问题的提出

以图1所示一习题为例[1]，对平面刚架中刚性横梁的内力进行讨论。图中横梁的弯曲刚度为无穷大，忽略各杆件轴向变形，试求该刚架的内力图。

分析可知，由于该刚架横梁抗弯刚度无穷大，利用位移法求解时只有一个基本未知量，即横梁的水平方向线位移。根据位移法即可求得该刚架横梁的水平线位移，并进一步得到各柱的剪力和弯矩。然而，刚性横梁ACE的内力并不能直接求出。利用结点A和结点E的平衡条件，可得到横梁AC在A端的弯矩M 以及横梁CE在E端的弯矩M ；C结点两侧弯矩M 和M 并不能确定。

二、刚性横梁内力的分析方法

实际上，当忽略刚性横梁两端的结点角位移时，得到的结果实际上时如图2a所示的内力，即加刚臂约束各结点角位移时外荷载引起的各柱的内力，此时刚臂内存在反力矩m （i=1，2，3），该反力矩与各柱顶弯矩相等，而横梁内力为零。要求得横梁内力，还需要将各刚臂的反力矩释放，再进行一次内力重分配，如图2b所示。图2a和b叠加得到的才是整个刚架的内力。因此，求横梁内力问题即转化为求图2b所示刚架内力问题。以下分析时假定集力偶和杆端弯矩均以顺时针为正。

采用位移法分析图2b刚架内力，研究与横梁内力相关的参数。若暂不考虑横梁抗弯刚度无穷大的条件，位移法分析的基本未知量包括结点A、C、E的角位移以及横梁ACE的水平线位移。设各杆线刚度分别为i = 、i = 、i = 、i = 、i = ，各柱侧移刚度为D = 、D = 、D = 。可建立位移法典型方程如下：

Z Z Z Z =-m -m -m 0 （1）

横梁各梁端弯矩可表示为：

M =4i ·Z +2i ·Z ，M =2i ·Z +4i ·Z M =4i ·Z +2i ·Z ，M =2i ·Z +4i ·Z （2）

由于横梁的抗弯刚度为无穷大，若各段横梁线刚度不同，可假设i =N·i =∞，则

=N， →0， →0， →0， →0， →0， →0 （3）

即考虑横梁的弯曲刚度无穷大后，式（1）变为：

Z Z Z =-m -m -m · （4）

Z = （5）

解方程Z ～Z 并，代入（2）即可求得：

M =-m ，M =-m M =- m -μ m + m M = m -μ m - m （6）

式中，μ = ，μ = 。

由此可知，若刚性横梁与柱单侧连接，则横梁梁端弯矩等于作用在该处的集中力偶；当刚性横梁与柱两侧均连接，两侧横梁梁端的内力与其相对线刚度、横梁远端弯矩有关。

三、简化分析方法

在图2b中，由于横梁的抗弯刚度趋于无穷大，不论柱底的约束条件为刚接还是铰接，各柱的抗弯刚度相对横梁非常小。类似文献[2]中的简化思路，在图示结点集中力偶作用下，横梁各结点发生转角位移时，各柱对结点的转角约束作用可忽略不计，那么横梁ABC各结点只受到竖向约束而转角自由，其受力特点与下图3所示的连续梁完全一致。

按位移法建立该连续的位移法典型方程为：

Z Z Z =-m -m -m （7）

上式与式（4）完全相同，则按其计算得到的连续梁内力与原框架中横梁的内力相同。

故提出平面刚架中刚性横梁内力的计算方法：

（1）按照位移法计算求得各柱顶截面弯矩m ，得到刚性横梁各结点等效集中力偶-m ；

（2）建立-m 作用下的横梁连续梁模型，利用等效连续梁来确定刚性横梁的内力。

四、计算示例

如图1所示框架结构，当EI=1kN·m ，横梁长度l =l =3m，水平荷载F =100kN时，确定横梁弯矩图。

首先，根据位移法可求出各柱的剪力分别为

F =62.79kN，F =F =18.60kN

然后可求出各柱顶弯矩，进而得到横梁各结点等效力偶为

-m =125.57kN·m，-m =-m =55.82kN·m

假定横梁截面相同，则分配系数μ =μ =0.5，代入式（6）即可求得横梁各端弯矩

M =125.57kN·m，M =55.82kN·m

M =45.35kN·m，M =10.47kN·m

五、结论

1.当平面刚架中存在刚性横梁时，在绘制结构的内力图时，应注意正确地计算刚性横梁的内力，切勿错误认为刚性横梁内力为零。

2.利用位移法对存在刚性横梁的平面刚架进行内力分析，结合该类刚架的受力特点，提出了确定刚性横梁内力的简化方法。

参考文献：

[1]王新华，贾红英，李悦.结构力学[M].北京：化学工业出版社.

[2]石静，高淑荣.利用弹簧支承巧解超静定刚架[J].力学与实践，2005，27（6）：77-78.