古希腊数学星空下的秘密——论三角形的稳定性

沈徐添

传说在公元前五百多年，古希腊发生了时疫，人们为了消解厄运与灾难，于是前往德尔斐神谕所向太阳神求助.太阳神给了他们五根粗木条.遵照神谕，大家需要建造一个不易变形的四边形框，来挂起月桂树的叶子以驱赶疾病，木条不需要全用完.一个自作聪明的设计师设计了图1的木框，将月桂树叶放置在里面.

一个月黑风高的夜晚，雷声大作，一阵风刮过，木框居然变形了，如图2.太阳神大怒，命古希腊人民两天内重新建造出一个木框，否则就不为他们阻挡疫病侵袭.此时一个聪慧英俊的年轻人奥汀想起来还有一根木条没有用，他试图用这根木条将四边形框架进行固定.

图1

图2

图3

机智的奥汀将木条钉在了四边形对角线的位置，人们发现此时无论怎么用力拉扯这个四边形，它都不会再变形了.好奇的人们问奥汀如何做到的，奥汀解释道：“因为三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性呀.”人们还是似懂非懂.你可以用你所学的知识解释吗？

我们在探索三角形全等的条件的课堂上，掌握了“边边边”可以证明三角形全等，即三边对应相等的两个三角形全等.换而言之，当我们确定了三边长度之后，这个三角形的形状大小唯一确定，不会再发生改变，我们将这一性质称为三角形的稳定性.奥汀将一个木条钉在四边形对角线的位置，事实上是将四边形钉成了两个三角形.钉子将两个三角形的三边长度固定.根据稳定性，两个三角形都唯一确定，故此四边形不会变形.

古希腊人获得了生的希望，在太阳神的庇佑下，慢慢地，疫病人数减少了，而这一切，被诡计之神洛基知悉了……他不愿古希腊人如此顺利地度过劫难，于是施展能力，将中间一根木条损毁了一半.此时只剩下半根木条，不够对角线的长度，这可怎么办？

奥汀集结了所有村民，想出了两种方案，如下图所示.聪明的你可以验证这两种方案是否可行吗？

图4

图5

图6

图7

题目：如图6，已知四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长均为定值，E为线段BC上固定一点，DE、EC为定值.

求证：四边形ABCD唯一确定.

下述简单推理过程：

连接BD.在△DEC中，由于 DE、EC、CD为定值，根据“边边边”定理，此三角形形状大小完全固定，具有稳定性.

有∠C为定值，则在△DCB中，DC、∠C、BC为定值.根据“边角边”定理，此三角形形状大小完全固定，具有稳定性.

有DB为定值，则在△ABD中，AD、AB、DB为定值.根据“边边边”定理，此三角形形状大小完全固定，具有稳定性.故四边形ABCD具有稳定性.

仿照此证明过程，我们也可以验证图5的方法是可行的.

一段时间过去了，古希腊人总算度过了艰难的时光，疾病与外力都没有抹去他们抗衡世界的勇气.经此一劫，他们更重视奇妙而有趣的几何，与机智的奥汀一起组成了几何研究会，在漫漫的数学之路上绽放属于自己的光芒.