极限演绎，让结构化思维走向深刻

单群贵

郑毓信教授在《新教育哲学》中提到：“努力促进学生思维的发展是数学教育最为重要的一个目标，应当将‘思维看作全部数学教学工作的核心。”特级教师许卫兵认为：“数学知识是整体的，也是有结构的，用整体性和结构化的思维引导数学学习是一条非常重要的路径。”所谓结构化思维，是以探寻事物结构为目标，以得出事物发展的一般规律为导向，以建构事物整体关联为抓手的一种思维方式。结构化思维，能够让学生更清晰、更高效地思考，更接近事物的本质，更有效地用数学思维的方式去思考并解决生活中的实际问题。下面，笔者就以苏教版五年级上册“图形面积期末复习”教学为例，谈谈在教学实践中，如何对学生进行必要的结构化思维训练。

一、让结构化思维在知识聚焦中凸显

在教学“图形面积期末复习”时，教师首先呈现了几种曾经学过的平面图形，并让学生回忆其面积计算公式，随后以小组讨论的形式，交流这些多边形面积公式的推导过程，最后让学生尝试用学具探究各种图形面积之间的关系：长方形的面积公式是“根”，其他图形面积公式是“枝”，即其他图形的面积都可以转化成长方形的面积，从而推导出其面积计算公式。图形面积的“知识树”由此在学生脑海中生根发芽。整个学习过程充分关注了学生对知识系统的学习过程体验，使教学目标得到了很好的落实。

图1是教材第25页的“练习与应用”的第1题，教师对这道练习题作了“个性化”的处理：先是呈现“裸图”（无点格的图形），让学生说说这些图形的面积，学生感到束手无策；随后给出点格图，引导学生用不同的方法比较图形面积，寻找它们之间的关系；最后，再将研究目光聚焦到三角形上，通过几何画板软件演示，拉动两个与其同底等高的三角形，让学生寻找面积相等的三角形，从而使其初步感知等积变形的多种可能性。

下面4个图形的面积有什么关系？你是怎样想的？

从以上教学片段中，我们不难发现：教师应该重视数学的本源，立足知识的整体性，寻找知识的关联性，从小处入手，以聚焦“三角形等积变形”为抓手，关注课时知识间的前后联系与整合，更好地梳理和构建横向的逻辑框架，为培养学生的结构化思维提供可能。

二、让结构化思维在动态研究中深化

当学生初步具备了“等积变形”的意识和操作能力后，教师立即将研究的目光“平移”至梯形，即同时给出三个梯形（图2），提问：“图中面积相等的梯形有哪些？”问题一抛出，便有少部分学生很快应答：“它们的高都是相等的，上底和下底的和也是相等的，所以它们的面积都是相等的。”教师并没有满足于此，而是组织学生继续想象：“如果继续照样子变形下去，可能会出现什么情况？”学生反馈：“可以变出三角形、长方形、平行四边形……”（图3）一切皆有可能，学生的一句“学到现在，我还是第一次发现梯形的面积计算公式有这么大的威力”恰恰说明了这样的设计是能够助推学生的求异思维，帮助学生在运动变化的联系中更直观地发现一般性规律，为后续更高阶段的结构化思维奠定了良好的基础。

在以上教学环节中，教师在充分保证上底和下底之和不变的情况下，研究了梯形的动态“变形记”，得出梯形最终可能变成长方形、平行四边形、三角形等的结论。让学生理解了：在必须保持面積不变的情况下，要想得到不同的图形，可以改变梯形上底和下底，上底变短了，下底就变长了，这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究，而这种由“静”到“动”的过程，其实就是结构化思维深化的过程。

三、让结构化思维在巩固练习中明晰

练习是课堂教学的延续，其目的在于巩固所学知识。练习的方式尽可能要“以少胜多”，从而达到“简约而不简单”的教学效果。许卫兵老师认为，真正的数学学习活动中都存在一个对所学内容进行“理解”或“消化”的过程。即只有学生能根据自己的知识和经验对所学内容做出“解释”，这样的学习才有意义与价值。为此，教师在设计练习时，不妨让学生对问题“回头再多看一眼”，去寻找知识间存在的显性或隐性的联系与区别，从而更好地把握知识的本质属性。

譬如，教师在呈现教材中“练习与应用”的第2题（图4）时，先让学生独立解决问题，继而在集体汇报交流时，杀了一个漂亮的“回马枪”——再次将研究的目光聚焦到梯形面积公式上，即向学生提问：“既然梯形的面积公式是万能的，那我们在计算平行四边形以及三角形面积的时候，为什么不用梯形的面积公式呢？”这样的“回马枪”不仅让学生知道，知识间是有联系的，是相通的，用同一种方式可以解决不同的问题，从不同的角度去观察事物，就会有不同的理解，而且便于学生掌握图形面积之间的本质联系，从而让学生能全面地把握“空间与图形”领域的知识框架结构图。

总之，高度结构化的知识是不容易被遗忘的，即使已被遗忘，它也可以顺着多种途径被找回。为此，教师在日常教学中，要合理进行结构化教学尝试，适时地借助极限演绎的方法，阐述“变”与“不变”的函数思想，引导学生从错综复杂的“变化”现象中发现知识间千丝万缕的“联系”与“区别”。只有这样，学生的数学知识碎片才能够及时、有序地纳入到新的知识体系中去，从而使他们的知识结构越来越稳固，越来越丰满，最终实现“用思维方法的分析去带动具体知识内容”的教学愿景。

（作者单位：江苏省如东县马塘小学）