高中数学解题中应用分类讨论法的实践

郭佳璐

【摘 要】将分类讨论法应用于高中数学解题过程中，能有效降低题目难度，提升学生解题准确性。分类标准不明确、分类重复或遗漏、对分类结果取舍不当等都是学生失分的原因。本文从分析分类标准入手，进一步探究在解答不同类型题目中分类探究法的应用策略，旨在做好总结分享，与广大学子共同进步。

【关键词】高中数学；解题策略；分类讨论法；应用实践

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0029-01

高中数学中参数问题的求解基本都要借助分类讨论法，首先明确讨论的对象，依据基本公式、性质等将对象分类。然后根据类别依次讨论，得到可能出现的结果，最终总结归纳，得出最后结论。分类讨论法能有效将繁琐的问题条理化，帮助我们理清思路，化难为易，提升解题速度的同时保证解题质量。

1 合理的分类是讨论的基础

若分类混乱，后续的讨论工作也会随之遇到重重阻碍，难以进行。将一个整体M分为若干非空真子集Mi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N+），满足M中的任一元素都属于且仅属于某一子集。即各个子集组成整体M；任意子集交集为空集[1]。满足这两个条件可以认为分类合理。合理的分离要保证没有重复与遗漏，这是基础，基础打好了才能再依据题干条件与基础公式等进行讨论环节。

2 不同类型题目中分类探究法的应用实践

将大问题拆分成小问题进行研究，最后汇总起来，从而解决原始问题。针对高中数学中不同題型，可以总结应用在实际解题过程中常用的几类分类讨论法。

2.1 通过分类讨论法解决函数问题

函数是研究变量之间的关系，在函数中设置参数，无疑又增加一重难度[2]。在解决带有参数的函数问题时，多数需要通过对参数进行合理的分类讨论，降低问题难度，求得准确结果。

如：已知函数y=（a+3）x2a+1+4x-5（x不为0），当a取何值时，函数是一次函数？观察函数，发现a是未知参数，若想满足题干中的函数为一次函数的条件，则首先确定要讨论的对象为（a+3）x2a+1，这项是一次项、常数项、零都可满足题目要求。确定好分类对象与标准，接下来进行分类讨论：①当2a+1=1且a+3≠0时，即a=0时，函数可化为y=7x-5，满足题目要求；②当2a+1=0，即a=-1/2时，函数y=4x-7.5，满足题目要求；③当a+3=0，即a=-3时，函数y=4x-5，同样满足题目要求。综上，a的值为0、-1/2或-3。

2.2 通过分类讨论法解决概率问题

概率是高中数学中又一大板块，且理论与实际生活联系较为密切，利用理论可以解决生活中很多实际问题，因此，作为学生应当掌握好这一部分知识。在概率题目中，问题本身包含的基本事件个数不尽相同，因此，要从基本事件入手，进行合理的分类讨论。

例如，山东高考试卷中曾出现这样一道题目：某地举办奥运火炬传递活动，将火炬传递手分别编号为1，2，3，…，18，在18名火炬传递手中任意选择3名人员，则选出的人员的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为多少？选项A：1/51；B：1/306；C：1/68；D：1/408。拿到题目初步一看，可以确定题目属于古典概型问题，但满足题目要求的可能性众多，如何解决呢？首先，我们应当求出题目中的基本事件的总数为17×16×3=816，设火炬传递手编号为bn=b1+3（n-1）。取b1=1，则人员编号选择范围为1，4，7，10，13，16，满足条件的有1，4，7；4，7，10；7，10，13；10，13，16共四种选择方法。取b1=2，人员编号选择范围为2，5，8，11，14，17，满足条件的有2，5，8；5，8，11；8，11，14；11，14，17。取b1=3，人员编号选择范围为3，6，9，12，15，18，同理仍然有4种选择方式。所以题目所求概率P=4+4+4/816=1/68，选C。

2.3 通过分类讨论法解决数列问题

数列是高考必考题型之一，在小题与答题中均有涉及。解决数列问题也多用分类讨论法，如计算周期性数列、等比数列求和等问题，都可以通过分类讨论解决题目。

例题：已知等比数列an的公比为q，前n项和Sn>0（n=1，2，3，…），求q的取值范围。挖掘题干中隐藏的已知条件可知，前n项和大于0，说明a1=S1大于0，又q≠0，那么则可进行分类讨论：（1）q=1时，Sn=na1>0；（2）q≠1时，Sn=a1（1-qn）/（1-q）>0，化简可得（1-qn）/（1-q）>0，（n=1，2，3，…），上式等价于1-q<0且1-qn<0，（n=1，2，3，…）①或1-q>0且1-qn>0，（n=1，2，3，…）②。解①可得q>1，解②可得-1

分类讨论法的应用能有效帮助我们找到解题的入手点，依照确定的分类内容进行讨论进而得出正确答案。作为高中学生，我们应在日常数学学习中注意分类讨论思想的培养与巩固，切实借助分类讨论法提高数学解题的能力。