循概念课一般规律促深度学习真实发生

钟鸣 陈锋

一、教学目标

理解反比例函数的概念；

能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式；

能判断一个给定函数是否为反比例函数。

二、重点难点

重点：通过反比例函数概念形成的过程理解反比例函数的概念。

难点：在对比和联想中领会反比例函数的内涵和外延。

三、教法分析

在对一类例子的概括和抽象中，相互启发和补充是必要的；在对一类例子的辨析和判断中，独立思考和积极尝试是必要的。因此，本节课的教法采用启发式探究法和合作式讨论法。

四、教学过程

导入：同学们好，清明假期，我回了趟老家，我的老家是距离无锡400km的徐州睢宁。

1.概念感悟

例1：从无锡到睢宁大概400km，如果平均速度是100km/h，那么只要4个小时就能到达。

问题1：填填表格。

问题2：在这个变化过程中，有几个量？常量是什么？变量是什么？

问题3：v和t满足怎样的关系式？

例2：我们村组织60人参加植树活动，计划植树480棵，2h可以完成任务。

问题1：填填表格。

问题2：在这个变化过程中，有几个量？常量是什么？变量是什么？

问题3：人数n和完成时间t满足怎样的关系式？

师：在这两个例题中，两个数量之间的关系有何共同点呢？

生：……

师：很好，发现共性是概括的基础。这样的两个变量是一种什么关系呢？

生：一个在变大，一个在变小。

师：一个量变大，另一个量也变大，叫做什么关系？一个量变大，另一个量变小，叫什么关系？

生：正比例，反比例。

概念呈现：如果用x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用这个式子表示：（一定）。

如果用x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用这个式子表示：（一定）。

追问1：你能分别用含v、n的代数式表示t吗？

追问2：从这两个表达式可以看出，当v的值确定的时候，t的值怎样？当n确定的时候呢？

追问3：t是v的函数吗？t是n的函数吗？

概念呈现：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x、y，对于x的每个取值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量。

设计意图：函数的概念较抽象，再加上相隔时间较长，学生回忆起来较困难。本设计通过一个具体的例子，引导学生感受函数的本质特征（两个变量、互相联系、单值对应），为学生提供回忆的线索，激活学生的回忆，唤醒学生的理解。

师：这两个函数是我们学过的函数吗？你认为它应该叫什么名字？

生：……

师：你的答案很正确，我们今天的学习对象就是反比例函数。类比学习一次函数的经历，你认为本章我们将怎样来研究反比例函数？

设计意图：引导学生思考知识的发展，将知识的发生、发展贯通起来，形成对整章学习内容的整体性了解。初中阶段的函数学习，就是在“变量说”的基础上，用一以贯之的研究方法，从概念、图形与性质、应用三个方面去研究。

2.对比观察

用函数关系式表示下列例题中变量之间的关系。

例3：老师出发前，汽车的油箱中有50升油，行驶中平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量Q（升）随行驶路程x（千米）的变化而变化。

例4：现在油价为每升6.72元，加油费用y（元）随加油量x（升）的变化而变化。

例5：面积为24的10个矩形贴在直角坐标系中（直角坐标系中每个小正方形的边长为1），矩形纸片的一个顶点与原点重合，相邻两边分别在x轴、y轴上，在x轴上的边长为x，在y轴上的边长为y，如右图所示。矩形边长如下表所示。y随x的变化而变化。

例6：实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化。

例7：正方形的边长为x（cm），面积y（cm2）随x的变化而变化。

问题1：你能给这七个函数关系式（ ____ 、 ____ 、 ____ 、 ____ 、____ 、____ ）分分类吗？说说你的理由。

问题2：一次函数的一般式是什么？正比例函数的一般式是什么？你能给这些新的函数写个一般式吗？

问题3：请观察这个新的函数的一般式，从形式上来看有什么特征？还能写成什么样的等式？

问题4：你能类比一次函数的定义，说说什么是反比例函数吗？

定义：形如的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。

设计意图：概念建立的标志是用词来标示和记载，对概念的理解最終要回到对概念的标示词的理解上来，理解它的来龙去脉，搞清概念的本质特征。

总结：初中阶段我们从函数的角度深入研究成反比例关系的两个变量：从成正比例的量到正比例函数，从成反比例的量到反比例函数。

3.概念巩固

例8：写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断它们是不是反比例函数。

（1）面积为100cm2的三角形，边长y（cm）随该边上的高x （cm）的变化而变化。

（2）体积是100cm3的圆锥，高h（cm）随底面积S（cm2）的变化而变化。

（3）你还能举出哪些例子？

解后反思：①需要说明的是，实际问题中自变量的取值除了不能为0外，还有实际意义的限制。

②如何举反比例函数的例子？

思考：①关于x的函数是反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？如果不是，请说明为什么。

②y与（x+1）这个整体是不是反比例关系？为什么？

y1与（x+3）成正比例，你能写出它们之间的关系式吗？

y2与x2成反比例，你能写出它们之间的关系式吗？

4.小结升华

通过本节课的学习，你认为怎样判断函数是否为反比例函数？

反比例关系与反比例函数有何区别和联系？

比较反比例函数与一次函数的联系和区别。

五、设计说明

温故知新。本节课的知识生长点为函数概念、比例关系，知识冲突点为新的形式与已知函数形式的冲突，延伸点为已有函数学习经历的类比。本节课通过具体的例子感受函数，激活函数的回忆；通过例群的观察比较，发现新函数的不同。

概念学习。本节课的概念学习包括概念建立、概念强化、概念应用和概念发展四个阶段。其中本节课的概念建立，既有概念形成的方式，也有利用上位概念同化新的概念的方式。概念形成过程一般要经历单例的初步感受、模糊认识，例群的合理分类、观察对比（以便在“大量同类事物的不同例证中”发现共同的关键特征，发现新旧知识的异同关系），本质的概括提炼、语词标示。概念同化过程一般要经历复习回顾提供固定点，新旧对比明确异同，新旧联系获得同化。

正反强化。概念的核心是其内涵，反比例函数的本质是成反比例关系的函数。获得对本质的认识，既需要在教学中提供学习内容的标准正例，还必须设计和提供丰富而又具有典型意义的非标准正例甚至反例，即本质的变式。本质与变式，不仅能够使学生举一反三，由本质想象出无穷的变式，实现迁移与应用；更重要的是，能使学生学会学习，即学会如何对学习对象进行深度加工，提升智慧水平。

总之，“将外在的学习内容转化为内在的精神力量”是深度学习的永恒追求。遵循概念新课的一般规律，契合初中生学习的阶段特点，以学定教、循序渐进，引导学生全身心经历、体验、探究、反思，促成学生高阶认知的参与，深度学习才能真实发生。