关于多元复合函数的求导探索

郭 欢

(郑州工程技术学院 信息工程学院,郑州 450044)

高等数学是以函数为研究对象，函数的求导是高等数学中的一个重要概念，是学习微积分的必备知识。复合函数的求导在导数的运算中起着关键的作用，它是衡量导数学习是否扎实的一个重要指标，而多元复合函数的求导问题是以复合函数和偏导数为基础，它是微积分的重要内容之一，其求法也要求学生掌握。

1 预备知识

1.1 多元函数的定义

设D是Rn中的一个非空点集，f是一个对应法则，若使得对于D内的每一个点P(x1,x2,…,xn),都能唯一地确定一个实数y，则称对应法则f为定义在D上的一个n元函数，记为

y=f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)∈D

或者y=f(P),P∈D。

其中，称(x1,x2,…,xn)为自变量，称y为因变量，点集D称为函数的定义域，记为D(f)，而f(x1,x2,…,xn)称为对应于(x1,x2,…,xn)函数值，全体函数值的集合称为函数的值域，记为R(f)。[1]27

特别的，当n=1时，即得一元函数，通常记为

y=f(x),x∈D,D⊂R。

当n=2时，即得二元函数，通常记为

z=f(x,y),(x,y)∈D,D⊂R2。

二元及二元以上的函数统称为多元函数。

1.2 一元复合函数

已知函数y=f(u),u∈D(f),y∈R(f),u=g(x),x∈D(g)，u∈R(g),若D(f)∩R(g)≠φ，那么就称y=f[g(x)],x∈{x|g(x)∈D(f)}为由函数y=f(x)经u=g(x)复合而成的函数，其中x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，集合{x|g(x)∈D(f)}称为函数y=f[g(x)]的定义域。[1]]262

1.3 二元复合函数

设函数z=f(u,v)是变量u,v的函数，而u,v又是变量x,y的函数，u=φ(x,y)，v=Ψ(x,y)，因而z=f[φ(x,y),Ψ(x,y)]是x,y的复合函数。[1]272

对于复合函数的求导问题，一元复合函数的求导，由于复合的过程形式灵活、情形多样，对于大一的学生来说，不易掌握，显得抽象，容易出错。在教学过程中，首先，要学生学会正确判断出复合函数，从形式上来看，即基本初等函数x的位置不再是x，而是关于x的代数式[2]。其次，能够正确分析出复合函数的复合过程，掌握基本初等函数是分析复合函数的基础，通过认真观察复合函数的形式，恰当引入一个或多个中间变量，由外层向内层将一个复合函数分解为若干个简单的基本初等函数，这也是复合函数求导的关键。最后，应用复合函数的求导法则，即链式法则进行求导即可。

对于多元复合函数的求导，一直以来都是教学中的重点与难点。对于高校的大一学生来说，这部分内容显得相对抽象、比较难学，学生求导时经常出错。[3]教师在课堂教学中可以将一元函数的复合函数的求导所用的链式法则，拓展到多元复合函数上，并结合因变量与自变量之间的关系结构图来解析其求导法则。这种借助关系图来求解复合函数导数的方法，会使多元复合函数的求导法则相对简单一些，就能使学生对这部分的内容理解的更透彻，掌握的更牢固，进而真正掌握多元复合函数的求导问题。

2 复合函数的求导法则

2.1 一元复合函数的求导

链式法则如图1表示：

图1 链式法则

该定理可以推广到任意有限次复合的情形。在应用此链式法则对复合函数求导时，注意要从最外层起，由外层向内层，层层相套，注意衔接，首尾相连。前面对哪个变量求导，后面就需要乘以这个变量对下一个变量的导数，直到最后一个变量为自变量为止[4]；而引入中间变量是为了简化复合函数的求导，最后求导之后还要将其还原为x的表达式；当熟练掌握此复合函数求导方法之后，就可以将中间变量省略，那么求导过程将会显得简单一些。

2.2 多元复合函数的求导

关于多元复合函数的求导，下面主要讨论二元函数的复合函数的求导。

设z=f(u,v)在(u,v)处可微，函数u=φ(x,y)，v=Ψ(x,y)，在点(x,y)处的偏导数都存在，则复合函z=f[φ(x,y),Ψ(x,y)]在点(x,y)处的偏导数都存在，且有如下链式法则[5]：

以上这个法则可以推广到多于两个自变量的情形。我们可以将其因变量与自变量之间的关系图表示为

分析：变量关系图为

由以上五个变量z,u,v,x,y之间的关系图可知，z是u,v的二元函数，而u是x,y的二元函数，v是x,y的二元函数。从变量z到x共有两个分支，z→u→x与z→v→x，每一分支的内容，用乘法相连，分叉的部分即两个分支的部分用加号相连；从变量z到y也有两个分支，z→u→y与z→v→y，每一分支的内容，用乘法相连，分叉的部分即两个分支的部分用加号相连。因z对u,v分叉，u对x,y分叉，v对x,y分叉，故z分别对u,v、u分别对x,y以及v分别对x,y的导数都用∂表示。[6]

解：设u=x-y,v=x+y则z=eusinv

∴由复合函数的链式法则知：

eusinv·1+eucosv·1=

ex-ysin(x+y)+ex-ycos(x+y)，

eusinv·(-1)+eucosv·1=

-ex-ysin(x+y)+ex-ycos(x+y)，

2.3 三种特殊情形的求解

以下三种特殊情形也可以通过链式法则来求解。

2.3.1 一元函数复合多元函数

设二元函数z=f(u),u=φ(x,y)，则复合函数z=f[φ(x,y)]用链式法则求导数得

分析：变量关系图为

由以上四个变量z,u,x,y之间的关系图可知，z是u的一元函数，而u的x,y二元函数。从变量z到x仅有一个分支，z→u→x该分支的内容，用乘法相连；从变量z到y仅有一个分支，z→u→y该分支的内容，用乘法相连。因u对x,y分叉，故u对x,y的导数都用∂表示，z对u未分叉即单路，故z对u的导数都用d表示。

解：由题意知

∴由复合函数的链式法则知

2.3.2 多元函数复合一元函数

设二元函数z=f(u,v)，u=φ(t),v=Ψ(t)，则复合函数z=f([φ(t),Ψ(t)]用链式法则求导数得

分析：变量关系图为

由以上四个变量z,u,v,t之间的关系图可知，z是u,v的二元函数，而u是t的一元函数，v是t的一元函数。从变量z到t共有两个分支，z→u→t，z→v→t，每一分支的内容，都用乘法相连，分叉的部分即两个分支的部分用加号相连。因z对u,v分叉，故z分别对u,v的导数都用∂表示，u对t未分叉，v对t未分叉，故u对t、v对t的导数都用d表示。

∴由复合函数的链式法则知

2.3.3 多元函数复合一元函数和多元函数

设二元函数z=f(x,v)，u=φ(x,y)，则复合函数z=f[x,φ(x,y)]用链式法则求导数得

分析：变量关系图为

由以上四个变量z,u,x,y之间的关系图可知，z是x,u的二元函数，而u是x,y的二元函数。从变量z到x共有两个分支，z→x，z→u→x，每一分支的内容，都用乘法相连，分叉的部分即两个分支的部分用加号相连；从变量z到y只有一个分支，z→u→y，该分支的内容，都用乘法相连。因z对x,u分叉，u对x,y分叉，故z分别对x,u和u对x,y的导数都用∂表示。

∴由复合函数的链式法则知

通过分析以上几种情形的复合函数的求导以及多元复合函数求导的链式法则，结合变量关系图，可以总结为如下规律：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导。这样的通俗易懂的口诀，帮助学生理清复合函数的求导的实质，抽象出来它的本质，学生通过正确使用此口诀来求解多元复合函数的导数问题。

3 结语

复合函数的求导方法是导数中一个重要内容，多元复合函数求导的链式法则是高等数学中非常重要的解决方法。教师要在教学过程中仍需不断地修改教学内容，改变教学方法，探索到更好的方法让学生对此部分理解的深刻、学习的透彻，一方面学生要正确理解其链式法则，搞清此法则的含义及正确使用求导符号；另一方面要多加练习，多思考，孰能生巧，进而真正掌握多元复合函数的求导问题。