从一道选择题看回归教材本源

朱卡丽

摘要：从一道2015年初中毕业生学业适应性的选择题，我们既可以考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，又能通过变式训练得出一些相似的题目。所谓万变不离其宗，回顾近几年中考，都在强调“追根溯源，回归课本”，在中考复习的教学中要重视教材，充分发挥教材的示范功能.

关键词：锐角互余；初中数学；变式训练

（2015·贵阳适应性第10题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（）

（A）12（B）22（C） 32（D）33

本题选自贵阳市2015年初中毕业生学业适应性考试第10题. 此题作为选择题的最后一题，涉及较多数学学习的基础知识、基本思想等，综合性较强，可考查学生综合运用数学知识解决问题的能力.

一、原题分析

此題考查的知识领域为图形与几何，知识点为直角三角形两个锐角互余，圆周角定理，切线的性质、锐角三角函数值等四个，主要考查学生的推理能力、几何直观、数感、符号意识、运算等方面的能力.

二、解法

解题思路一：从结论求sinE出发，联想到构造直角三角形，通过已知条件“CE是⊙O切线”判断连接切点与圆心的半径OC构造Rt△OCE；因为“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”，所以∠COB=2∠CDB=60°.所以在Rt△OCE中，∠E=90°- 60°=30°，转化为求特殊角的三角函数值，即可求得sinE=12.选择A选项.

评析：此种解法将锐角三角函数的求解问题通过构造辅助线与圆的知识相结合，最直观最易达到求解目的.要求学生会利用数形结合、转化等数学思想分析问题和解决问题.有效地考查了学生逻辑推理、几何直观、数感、符号意识等能力.

解题思路二：此题作为选择题，结果的生成不止一种.在解法一的基础上，也可以通过锐角三角函数的定义求得最终结果.

解题思路三：连接AC、BC，构造圆周角∠ACB.不止作一条辅助线也可以求解，但涉及到弦切角定理，教材已不做要求.作为教师应该知道这种解法，不过此种解法较繁琐，不提倡.

由解题思路可以看出，解此题的关键是准确作出辅助线，为此学生的思维障碍是：学生由题目已知或结论不能联想到已学过的知识点；不能构造辅助线或构造了干扰答题的辅助线，从而影响正确选项的判断；对课标要求的切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数值等知识点不清晰.

三、教材原型

本题综合性较强，但又都是基础知识的考查，对学生来说更是“新鲜出炉”的初三下册刚学的内容.课本的习题是否“吃透”决定了能否综合运用这些基础知识.

（一）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半九下教材80页随堂练习1.如图，在⊙O中，∠O=50°，求∠A的度数.

（二）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径：九下教材105页复习题11.如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为8cm，AB=10cm，求OA的长.

四、变式训练

改编一：将求sinE变为求∠E.

评析：题目看似变简单了，但是分析的思路不变，解题时使用的数学思想方法不变.同样考查学生的推理能力、几何直观等.作为选择题，还能设置更多的干扰选项.

改编二：将已知改为sin∠E=12（∠E为锐角），求∠CDB.

评析：原题通过“切线”“sin”等关键词可以联想到作辅助线构造直角三角形，而求圆周角能不能联想到作辅助线构造圆心角？通过这样一个简单的变式，再一次让学生在做题中重视“题感”的培养.在训练时有利于学生养成运用图形思考问题的习惯，有利于学生提升数形结合的能力.体现了核心素养的培养价值.

改编三：将已知改为OA=BE=2.

评析：既然可以通过直角三角形的边长求解sinE，为什么不直接给出线段长作为本题条件？而这个已知条件的添加更加微妙：由OA=OB=OC=BE，在构造的Rt△OCE中，利用边长的比例得出答案.在数学教学活动中，培养学生运算能力的核心素养，有利于学生提升逻辑推理的能力，此题的改编避免了学生仅靠“猜”也能得出原题A选项.

这样的改编还可以从图中添加线段进行.

（2016·浙江衢州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（）

（B）12（B）22（C） 32（D）33

（2015·贵州贵阳）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M.现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是

五、复习建议

以上题目的改编只是沧海一粟.回顾近几年中考，都在强调“追根溯源，回归课本”，在中考复习的教学中要重视教材，充分发挥教材的示范功能.

中考命题需要体现考试的激励功能、评价功能、选拔功能和导向功能，而适应性考试更是中考前的“热身”.从这一道适应性考试的选择题可以看出，学生要想获得较高的分数，必须具有扎实的基本功和灵活运用所学知识解决问题的能力！作为老师，在平时的教学中既要紧扣教材习题，也要适当兼顾优秀学生的拓展要求，更要注重学生数学思想方法、数学核心素养的培养.

（作者单位：贵州省贵阳市第七中学550000）