高考数学中圆锥曲线的考察及拓展

康湫婉

摘要：圆锥曲线是高考数学当中的一个重点，也是难点。选择填空题考察性质和技巧以及综合运用，解答题中以曲线方程的求解和弦长为主，并以此拓展和衍生出相关的计算问题。其多样性和复杂性给许多学生造成困难。本文以2016年全国I卷高考理数第20题为例对高考数学中圆锥曲线的解答题进行剖析，并进行相应的拓展，为考生备考提供良好的帮助。

关键词：高考数学； 圆锥曲线 ；拓展

在高考数学当中，圆锥曲线内容占有很大的比例，是高考考察的重点和难点。一般题目思路新、计算量大，成为区分考生水平的一个重要的分水岭。因此，圆锥曲线题目也是考生在备考过程中必须要重点练习的重点题型，一般在第一问中会考察学生的基本技能，例如根据定义求解圆锥曲线方程，或者是圆锥曲线与直线或圆的关系的相关题目，求解依据一般是圆锥曲线的性质求解。这类题目在平时的练习中较为常见，因此，许多同学可以解决第一问。而第二问则呈现多样化，考察弦长相关问题居多，重点考察学生的数学思维能力和综合能力，具有一定的难度。在本文中，笔者以2016年全国卷（I）理科数学第20题为例，讲解高考中圆锥曲线解答题的命题思路，并对第二问重点讲解并进行拓展。

例.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B点作AC的平行线交AD于E.

（I）ぶっ鱸EA|+|EB|为定值，并写出E的轨迹方程

（II）ど璧鉋的轨迹为C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。

解：（I）将圆的方程整理为（x+1）2+y2=16，可知圆心坐标A（-1，0）B（1，0），根据题目做出直线l，交圆A于C，D两点，由圆的性质可知|AC|=|AD|，即△ACD为等腰三角形，∠ACD=∠ADC。由于AC∥BE，可知∠ACD=∠EBD，从而有∠ADC=∠EBD，即有|EB|=|ED|， 因为|EA|+|ED|=4，所以|EA|+|EB|为定值4。

A，B两点为定点，E点具有|EA|+|EB|的性质，则由定义可知E的轨迹为椭圆，且a=2，c=1，可得椭圆方程x24+y23=1（y≠0），

其中要注意y≠0这一补充条件是容易失分的地方，因为题目中有描述直线l与x轴不重合，因此E点的纵坐标不可能为0。第一问是常规题目，考察几何关系和椭圆的定义，并由此求解椭圆的方程。

（II）根据题意，可以做出图形

这道题目首先我们应当知道四边形MPNQ面积应该如何求解，尽管是一个不规则的四边形，但是它的对角线垂直，因此其面积可以表示为

SMPBQ=12|MN||PQ|

按照常规思路，我们只需要将|MN|和|PQ |以斜率的方式表示出来代入该式当中即可求得面积关于斜率的表达式，通过进一步计算确定面积的取值范围。

直线l的斜率k分为两种情况，一种是斜率存在的情况，一种是斜率不存在的情况，即直线l垂直于x轴。为简便起见，我们先讨论斜率不存在的情况，较为简单，考试过程中学生也要有这样的策略，特别是在时间不足的情况下，将能拿到的分数拿到手。

当斜率不存在时，P，Q在x軸上，|PQ|的值即为圆A直径的长为8。M，N两点的横坐标为1，纵坐标根据上题所求出的椭圆方程亦可求得为±32，所以|MN |的值即为3，代入面积公式中可以求得面积为12.

当斜率k存在时，我们可设直线l的方程为，直线lPQ的方程则为y=-1k（x-1），将直线l的方程代入到椭圆的方程当中，并利用弦长公式求出|MN|=12（1+k2）（4k2+3），过程不再复述，弦长的求解方法是平时练习中最为常见的，这一部分计算较为耗时间，学生需要熟练掌握运算技巧，切勿急躁，耐心才能获得准确答案。

有关|PQ |的求法，则可借助点到直线距离与勾股定理，可以适当简化计算，圆心A到直线lPQ的距离为d=|-1+k·0-1|1+k2=21+k2

则圆的弦长为|PQ|=242-41+k2=43+4k21+k2

代入到面积公式中，即可求得

SMPBQ=12|MM||PQ|=1212（1+k2）（4k2+3）43+4k21+k2=2414+14（14k2+3）

则，12

这样解题的思路较为直接，涉及到弦长计算的题目一般计算量都很大，既浪费时间又容易出错。

上述解法为常规思路解法，其实，我们还可以有另一种解法，利用余弦定理，我们设∠MBA为θ，θ∈（0，π），则在△MAB中，根据余弦定理，可得|MA|2=|MB|2+|AB|2-2|MB||AB|cosθ.其中，根据椭圆的性质|MA|+|MB|=4，且|AB|=2

可得|MB|=32-cosθ，同理可得|NB|=32+cosθ

此时，|MN|=|MB|+|NB|=32-cosθ+32+cosθ=124-cos2θ

与上题求解圆弦长的方法类似，本题中也采用点到直线的距离公式与勾股定理相结合的方法，与上题不同的是，此时的斜率需用我们设置的角度来表示，即为tan（π2-θ），则直线方程为y=tan（π2-θ）（x-1），与上题计算方法类似，不再重复，最终求得的结果为

|PQ|=44-cos2θSMPBQ=12|MN||PQ|=12·124-cos2θ·44-cos2θ=244-cos2θ

根据角的范围，也可求得四边形MPNQ面积的取值范围是

12≤SMPBQ<83

第二种求解方法运用了余弦定理，思路不容易想到，但是简化了计算量，而且在设角时我们是设的是∠MBA而并不是倾斜角∠PBA，这样设的好处在于不需要再讨论斜率是否存在的问题，当∠MBA=90°时刚好是斜率不存在的情况，已经包含在角的范围内。在以后的练习当中可以尝试进行运用。

弦长问题一直是学生们的一个难点，庞大的计算量很容易让学生放弃题目。教材当中并未直接给出弦长公式的计算方法，在实际求解过程中我们可直接运用，这样可以节约计算时间，将时间分配给能够拿到高分的题目。在此，我们对弦长类的问题进行拓展。希望学生能够在实际应用中拓展思路，举一反三。

其中较为典型的是焦点弦的弦长问题，本题中我们以双曲线的焦点弦为例求解其焦点弦的长度。

题目：已知：双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点坐标为（c，0），过右焦点的直线l交双曲线的于点A，B，求AB的长度。

同样的，设直线l的斜率为k（当k存在时），则直线l的方程为：

y=k（x-c）

與双曲线方程联立，并根据弦长公式求解，可得：

|AB|=2a·（c2-a2）（1+k2）|c2-a2（1+k2）|

如果设直线的倾斜角为θ，则焦点弦公式可表达为：

|AB|=2a·c2-a2|a2-c2cos2θ|

类似的，可以求出椭圆x2a2+y2b2=1（y≠0）焦点为（c，0）焦点弦的公式为：

|AB|=2a·a2-c2|a2-c2cos2θ|

抛物线过焦点F（p2，0）的焦点弦公式为

|AB|=2psin2θ

以上证明略。

圆锥曲线问题是高考中的必考点，在解答题中考察的内容第一问一般为根据定义或者参量关系求解圆锥曲线方程或者根据几何关系来求解与证明某些参量等等，第一问一般较为容易，学生只要掌握常规解法一般都可以解决，第二问是题型变化最多，也是区分度较高的一问，一般会涉及到弦长公式。给考生的思路和计算造成很大的障碍，因此，学生在备考的过程中应对计算过程多加练习，同时在考试过程中要有相应的策略，一般情况下计算繁琐可能是由于学生选择方法不当造成的，在备考过程中要加以总结较为简便的计算方法和思路，帮助自己获得更高的分数，从而实现自己的大学梦想。

参考文献：

[1] 岳峻.2016年数学高考全国卷理科第20题的探究.中学教研（数学）.2016（8）：44-47.

[2] 方志平.椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用.中学数学（高中版）.2011（7）：49-51.

（作者单位：福建省泉州市第十五中学362000）