凸函数性质在不等式证明中的应用

徐 建 中

(亳州学院，安徽 亳州 236800)

在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。凸函数是一类常见的重要函数，自建立凸函数以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支都得到广泛应用，尤其是在数学分析、函数论、泛函分析，最优化理论等方面有着许多的应用。现行的高等教学教材中也都对函数的凸性做了介绍。凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，因此研究凸函数的性质十分重要。

1 凸函数的定义、性质及判定定理

1.1 定义

定义1设f(x)定义在区间I上，任意x1,x2∈I,0<α<1,0<β<1,α+β=1,恒有

f(αx1+βx2)≤αf(x1)+βf(x2)

(1)

则称f(x)在I上为下凸函数。若当x1≠x2有严格的不等号成立，则称f(x)为严格的下凸函数。下凸函数简称为凸函数。在式(1)中，若将不等号反向，则称f(x)在I上为上凸函数，当严格的不等号成立时，则称为严格的上凸函数。

1.2 几种等价定义

定义2若f(x)在I上有定义，f(x)称为I上的凸函数，当且仅当

(2)

定义3若f(x)在I上有定义，f(x)称为凸函数，当且仅当

∀x1,x2,…,xn∈I,有

(3)

定义4若f(x)在I上有定义，当且仅当曲线y=f(x)的切线恒保持在曲线的下方，则称y=f(x)为凸函数，若除切点之外，切线严格保持在曲线的下方，则称f(x)为严格的凸函数。

1.3 性质及定理

性质1设f(x)在区间I上为凸函数，对任意的k>0，则kf(x)在区间I上也为凸函数。

性质2设f(x),g(x)在区间I上为凸函数，则f(x)+g(x)是区间I上的凸函数。

性质3设f(x),g(x)在区间I上为凸函数，则线性组合的函数k1f(x)+k2g(x)(k1,k2>0)为区间I上的凸函数。

性质4若f(x),g(x)在区间I上为凸函数，则max{f(x),g(x)}为区间I上的凸函数。

性质5设g(u)是单调递增的凸函数，u=f(x)是凸函数，则复合函数g[f(x)]也是凸函数。

(4)

证明：显然只要证明必要性即可。因为f(x)在I上为凸函数,所以当n=1时，式(4)显然成立；当n=2时，由定义1和式(2)知，式(4)成立。

设当n=k时，式(4)成立，即有：

则当n=k+1时有:

由数学归纳法知，式(4)对一切自然数成立。

2 在不等式证明中的应用

2.1 在Jensen不等式证明中的应用

例1证明n个正数的倒数的算术平均值不小于这n个数的算术平均值的倒数。

(5)

例2证明：n个正数的算术平均值不小于这n个正数的几何平均值。

于是得

(6)

例3设xi>0(i=1,2,…,n),证明：

(7)

(8)

(3)x1x1+x2x2+…+xnxn≥

(9)

即

所以有

(xi>0,i=1,2,…,n)

(2) 由式(6)、(7)成立，易知式(8)成立。

(3) 令f(x)=xx(0

因为

f′(x)=xx(1+lnx)

所以，f(x)=xx在(0,+∞)上是凸函数。

即

2.2 在Holder不等式证明中的应用

证明：令f(x)=xα(α>1,00,

所以f(x)=xα在(0,+∞)上为凸函数。由f(x)在I上为凸函数的定义及定理1知，当ti>0时，

当xi∈(a,b)(i=1,2,…,n)时，有：

得

当aiα与biβ成比例时，即aiα=kbiβ(k为正整数,i=1,2,…,n)

当aiα与biβ不成比例时，ti不全相等，又因为f(x)=xα在(0,+∞)内为严格凸函数，故严格不等号成立。

2.3 在Cauchy不等式证明中的应用

例5若xi>0,yi>0,i=1,2,…,n,则有

证明：由Cauchy不等式，则有：

即

3 结 语

凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明中，运用凸函数解题显得巧妙而简练。利用函数的凸性来证明不等式，通常需要构造适当的凸函数，再利用函数凸性的定义及性质，将一些琴生不等式、Cauchy不等式等转化为研究函数性质的性态，从而使不等式简化，进而得到证明。