一类基于个体尺度结构的三竞争种群系统的最优输入率控制

申柳肖，赵 春

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

生物种群模型与生态环境保护及生物多样性等息息相关，因此一直是人们关注的热点.近年来，许多文献研究了具有年龄结构的种群模型[1-4].而个体尺度对研究生物种群有着重要意义，它比年龄结构更能精准地反映生物种群的某些行为[5]，因此受到了众多学者的关注[5-10].文献[6-7]研究了两类单种群模型的最优收获问题.文献[5]研究了一类个体尺度差异的两竞争种群系统的最优收获问题.文献[8]研究了一类竞争种群系统平衡解的稳定性条件.文献[9-10]研究了两类种群系统的最优控制问题.本文在以往文献的基础上研究基于个体尺度的三竞争种群系统的最优输入率控制问题，此时竞争种群之间的相互影响依赖于各种群的加权总规模.

本文考虑如下模型

其中：i、k=1、2、3；Q=[0，m]× [0，T]，常数 T 为种群个体的控制周期，固定常数m为最大的个体尺度；gi（s）为第i个种群尺度为s的个体的尺度增长率；pi（s，t）为第i个种群在t时刻尺度为s的种群密度；βi（s，t）和μi（s，t）分别为第i个种群的出生率和死亡率；Qi（s，t）为第i个种群的加权总规模，qi（s，t）为权重函数；λik（s，t）为各种群间的相互影响系数；p0i（s）为第i个种群个体尺度的初始分布；αi（s，t）为控制变量，表示第i个种群的个体输入率.

本文做如下基本假设.

考虑控制问题

1 解的存在唯一性

2 最优控制的必要性条件