纸张横幅定量多变量解耦控制策略研究

单文娟　汤伟　刘炳

摘要：针对横幅定量控制系统是高维、大规模稀疏的非方关联矩阵，利用矩阵分块法及变换因子将其转化为低维耦合方阵，并设计了基于对象模型的伴随矩阵解耦器，将多变量控制问题转化为单回路群控制问题。以实验用稀释水水力式流浆箱为例进行定量计算及解耦器设计，有效地完成了稀释水阀开度调节，减小了纸张定量波动，为先进横幅定量控制系统设计提供理论参考。

关键词：纸张定量；多输入多输出过程；解耦；稀疏矩阵

中图分类号：TS736

文献标识码：A

DOI：1011981/jissn1000684220180244

定量是反映纸张质量的重要参数，也是造纸自动控制系统中最主要的受控参量。成品纸张的定量特征可用二维坐标系统描述：沿纸机运行方向（Machine Direction，简称MD）和横跨纸机方向（Cross Direction，简称CD）构成2个坐标轴。定量控制是使纸张定量在纵向与横向都保持均匀[1]。MD定量值差异的原因较简单，目前已取得较为令人满意的研究成果。而CD定量控制技术较复杂，理论研究进展相对缓慢，CD定量控制也受到越来越多的关注。

稀释水水力式流浆箱采用向纸机横幅方向匀浆器的支管上游注入稀释水的办法来调节全幅定量，流浆箱的唇口开度是全幅均匀一致的，消除了传统调节方法的缺点，被越来越广泛地应用于造纸过程中。通过调节某稀释水阀开度来改变该处的局部定量时，流体流动的冲击特性会对两侧邻域产生影响[2]，以及浆流的流速与浓度、稀释水的流速及浓度、整流室的结构都会对稀释水的横向扩散造成影响。当某个稀释水阀动作时，会影响相邻若干范围内的纸张CD定量值，且CD定量控制系统中横向测量点和稀释水阀数量较多（横向测量点数量从200至2000不等，稀释水阀数量最多达300），最终产生的结果就是不同稀释水阀控制区域相互重叠，在控制上表现出强耦合特性。加上很多不可测干扰，使得系统成为一个高维、多变量、强耦合系统，常规的控制算法难以满足CD定量控制系统的需求。

为取得满意的控制效果，本研究全面分析了CD定量控制系统的耦合特点，利用实测数据结合模拟仿真，计算出耦合矩阵。鉴于计算的耦合矩阵为一个非方的高维大规模稀疏矩阵，不便于算法研究。本研究通过矩阵分块法，将非方的耦合矩阵化为方阵，并根据实际映射关系，对每个分块矩阵采用加权平均法获得变换因子，进行系统降维，从而将高维非方矩阵映射为维数与稀释水阀数量一致的低维方阵。在不影响模型精度下，解决了横向测量点和执行器之间的一一对应。在此基础上，针对化方降维后的耦合关联矩阵，设计对角化解耦器，完成多变量的解耦。从而将多输入多输出系统转化为回路数量与稀释水阀数量一致的单回路群控制问题，多个单回路的独立控制有效地降低了系统控制难度，达到控制要求。

1CD定量控制系统概述

CD定量控制过程如图1所示，定量传感器安装在纸机卷取部前的扫描架上。CD定量控制系统主要由三大部分组成：数据采集部分、控制器部分、执行器部分。负责数据采集的扫描仪，通过对纸幅做横向往复的扫描运动，测量整个纸幅的定量。伴随着MD的纸幅运动，扫描架传感器在纸幅上形成一个“Z”字形的扫描路径[3]。扫描的数据送到控制器中进行算法处理，稀释水阀执行器执行控制器计算转化来的相应控制量，执行器的数量将随着纸幅宽度的增大而增多，导致控制问题的规模非常庞大。整个CD定量控制系统涉及到数据的采集、处理、控制动作的计算及对执行机构的控制等步骤，是一个复杂的系统。

2CD定量数学模型分析

CD定量控制系统的数学模型包括2个部分：一部分是贯穿整个横幅的稀疏关联矩阵，另一部分是从稀释水阀执行器到对应测量点的纸机纵向传递函数。要将整个横幅的定量控制好，就要对这2部分分别采取对应的控制策略：一是每个稀释水阀的回路控制，二是稀释水阀和测量点之间的关联影响。

当整个纸幅横向上有m个测量点和n个稀释水阀时，就引入了一个m×n的关联矩阵[4]，纸机的 CD定量控制模型如下：

Y（s）为CD定量测量点的输出值；U（s）为稀释水阀的调节量；G0∈Rm×n为整个系统的关联矩阵，gmn则指第n个执行器对第m个测量点的影响系数。整个横向的耦合关系被关联矩阵静态处理，为后续的解耦算法做好准备。在CD定量控制系统中，每个执行器的物理特性相同，且其传递函数h（s）用一阶惯性加滞后（FOPDT）来描述，T为惯性时间常数，τ为滞后时间。

21关联矩阵量化过程

关联矩阵测量值维数m远高于执行器维数n，一般横向测量点数是执行器数量的3～5倍（3n图2执行器和测量点映射关系

由于本例中CD定量测量点的数量是执行器数量的5倍，所以，每隔5个点设置一个执行器。在每个执行器影响的两边各26个测量点中，执行器对正下游位置的测量点影响程度最强，耦合系数最大，如图2中实线所示；随着距离的增大，执行器对测量点的影响程度将逐渐减小；如果超出26个横向间隔，执行器对测量点的影响作用甚弱。可见，纸幅上某点的定量值是否受到某个执行器的影响取决于两者之间的横向距离。得到的关联矩阵G0见式（3）（第i列中g1所在的位置即为第i个执行器正下方对应的测量点的位置）。

为得到关联矩阵的具体数值，需知g（x），即当某个稀释水阀动作时，其对两侧浆流浓度影响的函数关系。但纸浆浓度调节存在逆向响应，逆向响应曲线如图3所示，即当某个稀释水阀开度增大时，该阀对应的沿纸机方向（即纵向）的浆流区域的浓度会降低，但两侧区域的浓度不但不降低，反而有所增加[6]，这为CD定量控制带来很大麻烦。需建立浓度稀释的数学模型，并进一步消除或平衡两侧逆向响应，按照图4中改造后的響应曲线计算g（x）。

参考国外学者给出的单个执行器的响应曲线表达式：

g（x）=r2

{e-α（x+βξ）2ξ2cos[π（x+βξ）ξ]+e-α（x-βξ）2ξ2cos[π（x-βξ）ξ]}（6）

其中，x为测量点相对位置，r为增益参数，α为衰减参数，ξ为宽度参数，β为差异参数，这些参数用来表征空间响应曲线的形状。g（x）刻画了当某个稀释水阀动作时，其对两侧浆流浓度造成的影响[7]。

分析响应函数，通过一系列的参数范围调整验证，可从带逆向响应的曲线1和曲线2变换出消除逆向响应的曲线3，如图5所示。曲线1的r=1，ξ=20，α=15，β=0；曲线2的r=25，ξ=20，α=15，β=04；曲线3的r=1，ξ=40，α=15，β=04。

图5不同参数的响应曲线

对于改造后的响应曲线3，按照设定曲线参数，代入到g（x）中，逐一计算出G0=[g1，g2，…，gn]中每列gi的所有元素，从而得到系统的关联矩阵G0的具体数值。

在计算gi（k）时，发现过某个点后，gi（k）衰减很快，几乎接近于0，为了降低运算，進行了截断操作，将小于10-3的值近似为0。得到的G0是一个320×64维的包含大量0元素的稀疏带状矩阵，见图6。其中，非0数据反映了各横向位置的耦合系数，带状宽度体现了耦合的强度。图7为G0的非0数据分布，主对角线上各元素较大，其余元素很小，即具有小范围耦合特性的非方高维对称关联矩阵。

22关联矩阵降维化方

G0是一个m×n维矩阵，实际上是一个m×n维控制系统，且实际中的m一般远大于n，这一点无疑增加了控制难度：大量的输入输出变量容易使得离线控制器不精确；较大的在线计算量和纸机的快速性使得运算速度较慢；高维的被控对象模型很难辨识。为便于算法研究，要将高维的控制系统进行两步运算：降维、化方，把G0映射成低维的n×n的方阵。

221关联矩阵的分块划分

不同的纸机，关联矩阵G0是不同的。假设纸机的横向耦合宽度为z，即每个输入量只对它左右各z个输出量有影响，本例中z=2。则320×64维的G0可划分为由块矩阵G1、G2、G3、G4组成的一个形似方阵的矩阵。

由式（7）可以看出，变化过程中应用到了所有的原始CD定量数据，并且考虑到了耦合关系，因而避免了有用信息丢失的缺点。然而，G0仍是一个320×64维矩阵，需进一步对分块后的G0矩阵进行转化，转换成一个64×64的方形矩阵。

222关联矩阵的化方转化

对CD定量数据进行高维到低维的变换，关键之处在于怎样得到变换因子，为此，可考虑采用如下方法：首先，改变某个执行器的设定值；其次，观察稳定后的CD定量曲线，发生改变的数据点（可以是若干个）即为与此执行器相对应的数据点。而在进行数据的高低维变换时，应利用到所有的数据点。假定第j个执行器对应实际纸幅上的位置为xj，第i个数据点对应实际纸幅上的位置为x′i，可认为某个数据点对于某个执行器的权值与它们之间在纸幅上的对应距离有关系。借助加权平均法获得变换因子：gi=e-（x′i-xjα）2/∑ni=1e-（x′i-xjα）2；其中，α为非0实常数。经计算，各分块矩阵可映射为：g1=03，g2=07，g3=07，g4=03。因此，关联矩阵G0从一个大规模稀疏的分块矩阵转化为低维的数值型方阵。纸幅成形过程中，在忽略边缘效应的情况下，整个纸幅以及机械结构是对称的，故方阵化后的关联矩阵具有托普利茨（Toeplitz）对称矩阵结构（任意一条平行于主对角线的直线上的元素相同），见式（9）。

根据Toeplitz矩阵特性，关联矩阵=Toeplitz（f），其中，f=[1，07，03，0，…，0]。对称关联矩阵中有大量的0元素，其中的非0元素则造成了执行器之间的强耦合。

3耦合特性分析及解耦器设计

31耦合特性分析

本例中，流浆箱上安装64个执行器，每个执行器控制1个区域，整个纸幅横向定量分成64个区，通过Toeplitz矩阵求解结果，可以看出，当第i个执行器动作时，该执行器对正下方的i区域影响最大，关联系数为1，左右两边也受到逐渐衰弱的影响，如（i±1）区域关联系数为07，（i±2）区域关联系数为03。即当第i个执行器调节量为ui时，为了保持i区域左右两侧的定量均匀，还需要对第（i±1）执行器分别进行07ui的调节，对第（i±2）执行器分别进行03ui的调节。在CD定量控制系统中，希望每个执行器之间是独立的，即当检测到i区域定量有偏差时，信号通过QCS系统计算出执行器的调节量，控制第i个执行器，消除对应区域定量差，同时无需调节第（i±1）、（i±2）执行器。对此，需增设解耦器，实现64个执行器与64个测量区域的一一对应。

32解耦器的设计

基于降维化方后的关联矩阵，在控制器和被控对象之间，添加一个解耦器，在解耦器与关联矩阵作用后，被控对象解耦成对角形式或主对角占优的形式，从而设计对角控制器[8]，实现系统的完全解耦。带有解耦器的控制结构如图8所示。

在CD定量系统中，耦合作用被作为一个静态关系处理，在被控过程的输入端设置静态解耦器。对于上述的64维的Toeplitz矩阵进行奇异判定，det（）≠0，接近于0，为精确，可进行广义求逆。由于矩阵与自身伴随矩阵之积为对角矩阵，即×adj（）=adj（）×=det（）×I，解耦器可设计为：K=adj（），从而将高维大系统控制转化为多个单回路控制。

对于定量要求是特定的纸张，定量控制系统的量化数学模型可以明确得到，通过上述设计方法，能有效地计算出每个稀释水阀的调节量，使纸张CD定量数据保持一致，也为后续的每个稀释水阀明确了调节目标。

4应用实例

对于试点造纸厂抄纸过程控制，采用如图9所示的DCS控制系统。该控制系统包含流浆箱本体控制柜、稀释水阀控制柜、QCS控制柜。CD定量的解耦控制算法通过稀释水阀控制柜实现。在稀释水阀控制柜的上位机工程师站中，MATLAB对获得的数据按照解耦控制算法进行处理，运算的结果通过稀释水阀控制柜的S7300PLC控制器作用在稀释水阀组，通过调节稀释水阀的开度，实现纸幅定量的均匀分布。

针对试点造纸厂纸机幅宽为45 m，设计车速为650 m/min，定量为66 g/m2的生产线。在稀释水阀控制柜上位机中，以定量值相等为标准，在64个阀门的综合作用下，由解耦控制策略得到稀释水阀的调节量U=[u1，u2，…，u63，u64]，见式（10）。通过S7300PLC控制稀释水阀，在工况稳定后，取某个时间段的定量监控画面（如图10所示），并随机测取了50个测量点，得到的定量偏差曲线见图11，定量波动范围为±16 g/m2。从图11可以看到，纸幅定量在设定值上下波动，且偏差很小。应用多变量解耦策略改善了执行器的控制精度，提高了产品质量，可为企业带来一定的经济效益。

5结论

横幅定量控制系统的数学模型反映出横幅定量控制过程是一个采样数据稀疏的高维大系统，且多个稀释水阀之间相互耦合。本研究针对此难题，希望将一个耦合关联的大系统转化为单回路群，采取分而治之的处理方法。依此思路，计算出了横幅定量系统的关联矩阵，通过对耦合关联矩阵进行降维化方，将高维大系统转化为具有对称关系的Toeplitz矩阵。并设计伴随矩阵解耦器，完成多变量解耦控制。对每个单回路通过解耦后的关联矩阵估算稀释水阀调节量，可为每个单回路PID调节提供依据和帮助。整个过程采用严格的数学计算，能达到一个较好的调节精度，为纸张横幅定量控制提供有效的理论依据。

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