实用粘弹性阻尼器耗能结构非平稳地震响应的快速求解

李创第 朱腾飞 柏大炼 葛新广

摘 要：本文为提高实用粘弹性阻尼器耗能减震结构基于非平稳地震激励的响应分析效率，对实用粘弹性阻尼器单自由度耗能系统随机地震响应的数值分析方法进行了系统研究.首先，采用设置支撑的六参数实用粘弹性阻尼器进行建模；然后，利用传递函数法直接得到耗能减震结构系统瞬态响应精确解；最后，基于虚拟激励法获得了快速求解调制非平稳激励下耗能减震结构的时域瞬态响应.通过均匀非平稳和非均匀非平稳算例分析表明：该方法对于此类问题的计算具有效率高、工程应用强的特点，为设置粘弹性耗能减震结构在非平稳地震激励下的快速求解提供了参考.

关键词：实用粘弹性阻尼器；耗能减震系统；非平稳地震响应；快速求解

中图分类号：TU311.3 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2018.04.003

0 引言

工程上，为减小结构体系的地震动响应，常采用增加结构阻尼的方法，其中粘弹性阻尼装置可以有效提供阻尼被广泛采用[1-3].粘弹性阻尼器有着非常复杂的力学性能，且其性能易受外部激励和环境因素的影响，因此，研究人员为了精确描述其本构关系，提出了多种恢复力模型，主要有：Kelvin模型[3]、Maxwell模型[3]、分数导数模型[3]、六参数模型[4]等.其中，Mazza F和Vulcano A提出了一种六参数实用粘弹性阻尼器模型.该实用粘弹性阻尼器是由两支Maxwell单元并联一支Kelvin单元组成，其本构方程从力学性能说是Kelvin模型[3]和Maxwell模型[3]的复合，能更准确的模拟粘弹性材料的蠕变及松弛性能，模型计算参数更易于测试数据拟合.此外，該模型在原结构上可进行扩阶求解，因而已广泛应用于实际工程当中.在实际工程中，阻尼器需要与支撑串联安装，常用的支撑形式有人字形支撑和对角式支撑，近年来还出现了剪刀式和肘杆式等新型支撑[5]，支撑的水平等效刚度直接影响到阻尼器的减震效果.因此，采用设置支撑的六参数实用粘弹性阻尼模型分析了耗能结构的动态特性，具有良好的工程应用价值.

一般粘弹性耗能减震变频结构常用扩阶精确法和非扩阶近似法作为分析方法.扩阶精确法针对广义Maxwell[6-9]、GHM[10]、分数导数Kelvin[11]等易扩阶粘弹性近似模型，利用扩阶复模态法获得结构响应解析解，因扩阶方程组物理意义不明确、变量个数剧增、计算效率低等缺陷，难以用于实际工程的分析.非扩阶近似法主要是模态应变能法[1，12]和取结构基频的强行振型解耦法[13]，但因其在多自由结构振动分析时忽略模态交叉项的影响，使其精度和使用范围受到限制.

虚拟激励法[14]将平稳振动分析转化为简谐振动分析和确定性时间历程分析，在计算步骤简化的基础上仍保持理论上的高度精确性.虚拟激励法与钟万勰[15]提出的精细积分法二者相结合的方法是运动方程的时域数值求解中常用的方法，简化了计算过程的同时效率得到很大提升.Su等[16]针对均匀调制非平稳激励下非线性结构的响应分析，提出了一种快速等效线性化方法.传统的运动方程在时域内的求解存在矩阵的阶数较高，不便于大型的时程响应分析.非齐次的运动方程均需计算指数矩阵以及矩阵求逆，而矩阵求逆容易造成计算精度降低、出现数值不稳定以及需要考虑逆矩阵不存在的情况，从而限制了使用范围.非平稳随机振动分为均匀非平稳激励和非均匀平稳激励，两者都可以表示为同源平稳激励关于时间的函数[17-18]，可以利用虚拟激励法化为确定性的时间历程分析.

本文应用传递函数法，直接在原结构基础上获得设置支撑六参数实用粘弹性阻尼器耗能减震结构在任意激励和非零初始条件下位移、速度和阻尼器受力时域瞬态响应的精确解，避免了结构扩阶、计算指数矩阵以及矩阵求逆.结合虚拟激励法，快速求解在非平稳地震激励下（含均匀调制非平稳和非均匀调制非平稳）耗能减震结构的非平稳响应.

1 结构运动方程及其系统响应

1.1 实用粘弹性模型阻尼器本构关系

实用粘弹性阻尼器[PQ（t）]的分析模型如图1所示，该模型由两支Maxwell单元并联一支Kelvin单元组成，该实用粘弹性阻尼器受力[PQ（t）]与相对位移[xQ]的本构关系为[3]：

[PQ（t）=0tQ（t-τ）xQ（τ）dτ=k0xQ（t）+c0xQ+P0Q（t）] （1）

[P0Q（t）=0thQ（t-τ）xQ（τ）dτ] （2）

[hQ（t）=Q（t）-Q（+∞）=k1e-k1c1t+k2e-k2c2t] （3）

式中：[Q（t）]为实用粘弹性阻尼器的松弛模量函数，[k0]为实用粘弹性阻尼器的平衡刚度，[c0]为实用粘弹性阻尼器的平衡阻尼，[hQ（t）]实用粘弹性阻尼器的松弛函数；[k1、k2]和[c1、c2]分别表示实用粘弹性阻尼器各支Maxwell单元的刚度和阻尼.

1.2 结构原始运动方程

设m、k、c分别为带支撑六参数实用粘弹性阻尼器单自由度耗能减震结构的质量、刚度和阻尼；将支撑与实用粘弹性阻尼器的整体串联系统作为等效阻尼器[PG（t）].在地震动[xg（t）]的作用下，结构相对于地面的位移为[x]，结构模型如图2所示，其运动方程为：

[mx+cx+kx+PG（t）=-mxg（t）] （4）

根据前期研究，等效阻尼器受力[PG（t）]与相对位移[x]的本构关系为[19]：

[PG（t）=kGx（t）+0 thG（t-τ）x（τ）dτ] （5）

式中：[kG]和[hG（t）]分别为等效阻尼器[PG（t）]的平衡刚度、松弛函数，可根据文献[19]直接得出.

根据前期研究，由传递函数法可直接求解出耗能减震系统响应解析式可统一表达为[19]：

[Slt=j=15ρljyjt ， l=1， 2， 3] （6）

其中：[ρlj]——相应的响应系数，其值可由文献[19]直接得出；[S1t]——结构的位移响应，[S2t]——结构的速度响应，[S3t]——等效阻尼器受力.

[yj（t）]为标准一阶系统对地震激励的响应，其表达式为：

[yj（t）-Sjyj（t）=-xg] （7）

[yj（t）=-0teSj（t-τ）xg（τ）dτ] （8）

传递函数法的最大优点是不需要扩阶，本节应用传递函数法，直接在原结构基础上获得设置支撑六参数实用粘弹性阻尼器耗能减震结构在任意激励和非零初始条件下位移、速度和阻尼器受力时域瞬态响应的精确解，避免了因扩阶方程组物理意义不明确，变量个数剧增，计算效率低等所带来的缺陷.

2 耗能减震系统结构非平稳响应的快速分析

为考虑地震的强度非平稳和频率非平稳，采用Priestley提出的演变谱模型[20]来分析均匀调制和非均匀调制非平稳地震响应，它可以用下式表示：

[xg（t）=-∞+∞a（ω，t）eiωtdα（ω）] （9）

其协方差函数可表示为：

[Cxg（t1，t2）=-∞+∞eiω（t1-t2）a（ω，t1）a?（ω，t2）Sxf（ω）dω] （10）

式中：[Sxf（ω）]为0均值平稳随机过程的自谱密度；[i=-1]；“*”表示取复共轭；[α（ω）]是一个正交增量过程；[a（ω，t）]是一满足[a（ω，t）=a?（-ω，t）]的调制函数.

由式（6）知，耗能减震系统的一般响应[Sl（t）]（含结构位移、速度及阻尼器受力）的非平穩协方差函数为：

[E[Sl（t）Sl（t+τ）]=j=15k=15ρljρ?lkE[yj（t）y?k（t+τ）]] （11）

[E[yj（t）y?k（t+τ）]=0t0t+τeSj（t-η） eS?k（t+τ-ξ）Cxg（η，ξ）dηdξ] （12）

将式（10）代入式（12）可得：

[E[yj（t）y?k（t+τ）]=-∞+∞ Yj（ω，t）Y?k（ω，t+τ）Sxf（ω）dω] （13）

[Yj（ω，t）=0t esj（t-η） a（ω，η）eiωηdη ， （j=1， 2， …， 5）] （14）

式（14）为标准一阶系统对激励[a（ω，t）eiωt]的响应.根据林家浩等[18]提出的虚拟激励法原理，若构造如下虚拟激励：

[g（t）=Sxf（ω）a（ω，t）eiωt] （15）

则产生的虚拟响应必定为：

[Yj（ω，t）=Sxf（ω）Yj（ω，t）] （16）

则由式（16）和式（13）可分别求得：

[Yj（ω，t）Y?k（ω，t+τ）=Yj（ω，t）Y?k（ω，t+τ）Sxf（ω）] （17）

[E[yj（t）y?k（t+τ）]=-∞+∞ Yj（ω，t） Y?k（ω，t+τ）dω] （18）

由式（14）—式（16）知：

[Yj（ω，t）=0teSj（t-η）g（η）dη] （19）

对式（19）取时间步长[Δt=ti+1-ti]，进行数值离散化得：

[Yj（ω，ti+1）=TYj（ω，ti）+titi+1eSj（ti+1-η）g（η）dη] （20）

式中：[T=eSjΔt].

在很小的时间步长[Δt]内，通常可以认为激励是线性变化的，则式（20）可表示为：

[Yj（ω，ti+1）=TYj（ω，ti）+A1g（ti）+A2g（ti+1）] （21）

式中：

[A1=1-TS2jΔt+TSj；A2=T-1S2jΔt-1Sj] （22）

由式（21）可看出，在零初始条件的情况下，即[Yj（ω，0）=0]，可以推导出[ti=iΔt]时的[Yj（ω，ti）]表达式：

[Yj（ω， t1）=A1g（t0）+A2g（t1）] （23）

[Yj（ω，ti）=Ti-1A1g（t0）+Ti-2A2g（t1）+…+T0A3g（ti-1）+A2g（ti） ， i≥2] （24）

式中：

[A3=TA2+A1] （25）

上式中，若用[Bi，0， Bi，1， …， Bi，i]表示[g（t0） ， g（t1） ， …， g（ti）]的系数，则式（24）可表示为：

[Yj（ω，ti）=WiJi] （26）

其中：

[Wi=Bi，0Bi，1…Bi，i ] （27）

[Ji=g（t0）g（t1）…g（ti） T] （28）

由以上推导可知，[Yj（ω，ti）]对应系数的计算是一个递推过程，[ti]时刻所对应的系数[Bi，0， Bi，1， …， Bi，i]只和结构自身有关，且可用[ti-1]时所对应的系数[Bi-1，0 ， Bi-1，1， …， Bi-1，i-1]表示.

[B1，0=A1B1，1=A2 ， i=1 ] （29a）

[B2，0=TB1，0 B2，1=TA2+A1 ， i=2 B2，2=A1，1 ] （29b）

[Bi，0=TBi-1，0 Bi，1=TBi-1，1 ， 3≤i Bi，l=Bi-1，l-1 ， 2≤l≤i ] （29c）

根据式（29）建立的系数递推关系式，各时刻对应的系数均可通过递推式得出.本文方法未计算指数矩阵，不需求逆计算，与文献[21]提出的显式时域分析法相比，缩短了计算时间，提高了计算效率.

将式（26）代入式（18）便可以简洁的计算出[E[yj（t）y?k（t+τ）]]，即：

[E[yj（t）y?k（t+τ）]=-∞+∞ Yj（ω，t） Y?k（ω，t+τ）dω] （30）

地震工程中，一般研究结构系统的响应方差，即[τ=0]时，上式可简化为：

[σ2yy=-∞+∞ Yj（ω，t） Y?j（ω，t）dω] （31）

上式为无穷广义积分，可根据数值积分方法来进行求解.在实际计算中，为考虑积分的计算问题，积分上下限一般取有限值，故而设积分区间为[-b，b].若采用等间距梯形积分公式来计算，式（31）可写为：

[σ2yy=Δωn=0pYj（ωn，t）Y?j（ωn，t）] （32）

式中：[p]为离散频点数，[Δω=2b/p]，[ωn=nΔω（n=0，1，…，p）].

3 算例

对如图2所示设置带支撑的六参数实用粘弹性阻尼器的某单层钢结构建筑进行地震响应分析，结构的基本参数为：质量[m=42 500 kg]，刚度[k=145.43×105 N/m]，结构基本周期[T0=0.339 s]，阻尼比[S0]分别取0.02、0.04、0.08、0.2；支撑刚度[kb=1.5 k]，实用粘弹性阻尼器的基本参数为：Kelvin单元的平衡刚度和阻尼分别为[k0=0.36×105 N/m]、[c0=0.37×105（N?s）/m]，Maxwell单元阻尼器两分支单元的刚度和阻尼分别为[k1=42.08×105 N/m]，[c1=0.83×105（N?s）/m]；[k2=6.87×105 N/m]，[c2=2.15×105（N?s）/m].平稳地震动[xf（t）]谱密度函数取为Kanai-Tajimi谱：

[Sxf（ω）=ω4f+4ξ2fω2fω2（ω2-ω2f）2+4ξ2fω2fω2?S0]

其计算取值为：[ωf=10.9 rad/s]，[ξf=0.96]；[S0=0.015 54 m2/s3].

调制函数分别取为阶跃型和非均匀调制函数Spanos-Solomos型[22]，计算参数取为：

[a（t）=1]

[a（ω，t）=a1（ω，t）=2 ω5π t e-0.5×0.15+ω225π2t]

在阶跃型调制非平稳地震激励作用下，结构的位移、速度和阻尼器受力随时间的响应方差如图3—图5所示.由计算结果可以看出：在均匀平稳激励下，结构位移、速度和阻尼器受力在经过一个时间点后会趋于稳定；阻尼比越大结构的3种响应均越小；阻尼比越大，达到平稳值的时间越短；同一阻尼比下，结构速度最先达到平稳，阻尼器阻尼力速度其次，结构位移最后达到平稳值.

在Spanos-Solomos型非均匀调制非平稳地震激励作用下，结构的位移、速度和阻尼器受力响应方差如图6—图8所示.由计算结果可以看到：在非均匀激励下，结构的位移、速度和阻尼力受力具有峰值效应，且同一结构响应的峰值发生时间不随阻尼比的变化而变化；同一阻尼比下，速度最先达到峰值，阻尼器阻尼力其次，结构位移最后达到峰值；阻尼比越大3种响应对应的值就越小.

为了研究支撑刚度对结构响应的影响，研究了结构基本参数不变时，而支撑刚度分别为0、0.5 k、1 k、1.5 k、2 k，阻尼比取[S0=0.1]时，在2类非平稳激励下的3种响应.

阶跃型调制非平稳地震激励作用下，结构的位移、速度和阻尼器受力随时间的响应方差如图9—图11所示.由计算结果可以发现：在均匀平稳激励下，结构位移、速度和阻尼器受力在经过一个时间点后会趋于稳定；支架的刚度越大，结构的3种响应均越小；支架刚度达到结构刚度的1.5倍以上时，结构位移和速度响应随支架的变化基本趋于稳定；支架刚度对于阻尼器阻尼力的影响较小.

在Spanos-Solomos型非均匀调制非平稳地震激励作用下，结构的位移、速度和阻尼器受力响应方差如图12—图14所示.由计算结果可以看到：在非均匀激励下，结构的位移、速度和阻尼力受力具有峰值效應，且同一结构响应的峰值发生时间不随支架刚度的变化而变化；支架刚度达到结构刚度的1.5倍以上时，结构位移和速度响应随支架的变化基本趋于稳定；支架刚度对于阻尼器阻尼力的影响较小.

4 结论

本文结合虚拟激励法对设置带支撑实用粘弹性阻尼器单自由度耗能减震系统基于非平稳地震响应作用下进行了研究.研究表明：

1）在平稳激励作用下，阻尼器阻尼越大，结构响应越快达到平稳，说明阻尼对于减震的有效性.

2）在平稳激励作用下，其他条件一致下，结构速度响应最先达到平稳，位移最慢达到平稳，说明阻尼对于结构响应的不同步性.

3）在非平稳激励作用下，结构的3种响应均存在峰值效应，且结构速度响应最先达到峰值，结构位移最晚达到峰值，但峰值发生时间不随阻尼而改变，说明在非平稳激励下，结构的响应与结构频率有关，且阻尼对于结构不同影响存在相位差.

4）支撑刚度对于结构的位移和速度的响应影响较大，对阻尼器阻尼力影响较小.

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Fast solution to non-stationary seismic response of energy dissipation structure with practical viscoelastic damper

LI Chuangdi， ZHU Tengfei， BAI Dalian， GE Xinguang

（School of Civil Engineering And Architecture， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： In order to improve the response analysis efficiency of energy dissipation structure of practical viscoelastic dampers based on non-stationary seismic excitation， the numerical analysis method of random seismic response of practical viscoelastic dampers with single degree of freedom energy dissipation system is systematically studied. Firstly， a six-parameter practical viscoelastic damper with braces is used to model the behavior of viscoelastic dampers. Then， the transient response of the energy dissipation structure is solved by the transfer function method. Finally， based on the virtual excitation method， the time-domain transient responses of energy dissipation structure under unsteady excitation are obtained and two examples including uniform or non-uniform modulated random excitation are given. The examples show that the method has the characteristics of high efficiency and strong engineering application for the calculation of this kind of problem. This provides a reference for the rapid solution of the viscoelastic energy dissipation structure under non-stationary seismic excitation.

Key words： practical viscoelastic damper； energy absorbing structure； non-stationary seismic response； damper force； fast solution

（學科编辑：黎 娅）