广义透水边界下坝基非线性一维固结分析

宋剑鹏 谢晨 朱洵 石北啸

摘要：坝基透水边界对坝体渗流特性具有重要影响。针对坝基的非线性固结特性及实际工程中存在的广义透水边界，提出了符合非线性一维固结特征的广义透水边界条件，建立了广义透水边界下的非线性一维固结理论模型，并给出了相应的解析解。通过公式的退化，导出了一系列经典解答。在解答正确性得到验证的基础上，通过算例分析了坝基非线性参数和广义透水边界条件等因素对土体固结特性的影响。

关键词：解析解；广义透水边界；非线性固结理论；固结度

中图分类号：TV223.6 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.09.023

1 引言

固結理论一直是土力学经典课题之一。土体的固结规律不仅取决于土体的类别和状态，而且与外界排水条件和受荷方式等因素密切相关。最早期的饱和土一维固结理论由Terzaghi首先提出川。其后，众多学者针对Terzaghi一维固结理论的6个假定，结合土体及荷载特点进行了大量修正工作。

在水库工程中，坝基存在黏土，通常表现为非线性变形与渗流特性。Davis等[2]基于线性e-logσ'（e为孔隙比，σ'为有效应力）关系，通过假定渗透系数kv和体积压缩系数mv同步变化，得到固结系数Cv为常数，从而得到瞬时加载下固结方程的解析解。Barden等[3]基于线性e-log，σ'关系以及kv与孔压u的简单关系，采用有限差分法得到了固结解答。Mesri等[4]基于线性e-logσ'和线性e-log k，关系，同样采用有限差分法得到了固结解答。然而以上研究中，除了Cv为常数的特殊情况外，解析解一般无法求得，只能借用数值法获得解答。为此，Lekha等[5]采用近似处理的方法得到了非线性固结解析解，并通过大量试验证明了结果的正确性。

除了坝基土体自身材料的复杂性外，工程外在因素如坝基排水条件等也会对固结性状产生较为显著的影响[6]。在经典固结理论中，透水边界与不透水边界由边界处孔压u来界定，即

u=0（透水边界）式中：z为竖向坐标。

考虑介于透水与不透水边界之间更为普遍的排水条件Gray[7]提出了半透水边界条件：其中

R=ksH/（kvL）式中：H为地基土厚度；L和ks分别为待固结土层边界相邻虚拟刚性土层的厚度与渗透系数。

半透水边界条件的物理意义即待固结土层与相邻虚拟刚性土层间的渗流连续条件。半透水边界在实际固结方程计算中并不能简便求解，使得特殊边界条件的计算问题难度大大提高，且半透水边界条件并不能严格满足初始条件，这使得固结方程不满足解的适用性。梅国雄等[8-9]提出了一个更加广义的透水边界：

u|z=0=pexp（-bt）

u|z=H=pexp（-ct）（3）式中：p为瞬时施加的恒定外荷载；b、c为与土体排水性质相关的参数，可通过试验模拟或工程实测反演得出；t为时间。

本文在非线性一维固结理论的基础上，研究广义透水边界下一维固结问题。通过Lekha等[5]的近似处理方法，得到了考虑线性e-logσ'和线性e-log kv关系的非线性一维固结解析解。通过分析比较，对软黏土地基非线性一维固结性状进行了全面研究。

2 问题的描述

2.1 基本假定

针对非线性一维固结理论采取如下假定：①地基为均质、饱和土层，土颗粒及水不可压缩；②排水仅发生在竖向；③固结变形符合小应变条件，且不考虑流变；④固结过程中，水在土中流动符合Darcy渗流特性；⑤外荷载p为瞬时施加的恒定荷载；⑥固结过程中，孔隙比e与有效应力σ'满足e-logσ'线性关系；⑦固结过程中，孔隙比e与渗透系数kv满足e-log kv线性关系。

2.2 控制方程

图1为拟求解的地基计算模型简图。土层是厚度为H的饱和黏土层，顶面与底面皆为广义透水边界，土层表面瞬时施加恒定荷载p。

e-log σ'、e-log kv线性关系和一维饱和土体的连续方程：

e=e0-cclog（σ'/σ'0）（4）

e=e0+cklog（kv/k0）（5）式中：e0为土体初始孔隙比；cc为土体压缩指数；σ'0为土体初始有效应力；ck为土体渗透指数；kv0为初始渗透系数；v为渗流速度。

根据式（4）、或（5）、式（6）可推得非线性一维固结控制方程（具体推导过程见文献[5]）为其中

Cv0=kv0ln[10（1+e0）σ0']/（γwCc）式中：Cv0为初始固结系数；σf'为最终有效应力；γw为水的重度。

作变量代换：则固结控制方程转换为

2.3 边界条件

饱和黏土层顶面与底面选用广义透水边界条件，为论证非线性固结模型求解的可行性，采用陈征等[10]针对非线性固结理论提出的广义透水边界：

2.4 初始条件

外荷载为瞬时施加的恒定荷载，瞬时荷载引起土体超静孔压均匀分布，则初始条件为

u|t=0=σf'-σ0'（0≤z≤H）（11）

3 问题的求解

3.1 超静孔压

式（9）在所给的边界条件与初始条件下无解析解。为方便工程应用，Lekha等[5]采用中值处理方法通过大量试验验证了该方法的合理性。本文基于Lekha近似法，将非线性项边界条件式（10）及初始条件式（11）转换为对边界条件式（13）作非齐次边界齐次化，得则控制方程、边界条件和初始条件代换为

μ|z=0=0（17）

μ|t=0=0（18）

根据齐次边界条件式（17），对边值问题式（16）及式（18）作有限Fourier正弦变换，得

μ|t=0=0（20）其中

式（19）在初始条件式（20）下的通解为由有限Fourier正弦逆变换得在v已知的情况下，由代换关系可得将式（23）代回式（8）得

u（t，z）=σf'[1-ew（t，z）]（24）

式（24）即广义透水边界下非线性一维固结孔压解答。

3.2 固结度

根据土体应力一应变关系的假定得固结度为式中：ef为σf'下的孔隙比。

将式（23）及式（24）代入式（25）得

4 解答退化

考虑上下皆为广义透水边界情况的非线性一维固结解答，根据對称性，当c=b时使用2H替换H可得

当b→∞时，顶面透水边界为完全透水边界，式（28）退化为

式（29）即Lekha解答[5]。

在式（28）基础上，满足cc/ck=1，即η=1时，式（28）退化为

式（30）即陈征提出的解答[10]。

在式（30）基础上，使b→∞，可得到Davis非线性一维固结解答[2]：

5 计算与分析

本算例所采用的地基参数：土层厚度H=10m，初始竖向固结系数Cv0=2×10-7m2/s，选取时间因素Tv0=Cv0t/H2。cc/ck一般为0.5～2.0，因此讨论固结特性时，cc/ck在区间[0.5，2.0]内取值。

图2为不同cc/ck对固结过程的影响。

由图2可以看出，在透水边界条件及外荷载固定的情况下，固结度随着cc/ck的增大而减少。且随着cc/ck的增大，固结度减少的比例越来越小。因在σf'/σ0恒定的情况下，η会随着cc/ck的增大而减小，间接相当于固结系数随着cc/ck的增大而减小，故固结度相应减小。

当cc/ck<1时，kv的变化速率小于mv，因此随着cc/ck的减小，mv对固结度的影响逐渐起控制作用。当cc/ck=0.5时，mv对固结度的影响占主导地位，即σf'/σ0'越大，固结度越大。从数学角度看，由于cc/ck<1，η随σf'/σ0'的增大而增大，因此间接增大了固结系数，从而使固结度增大。

当cc/ck>1时，kv的变化速率较mv大，因此随着cc/ck的增大，kv对固结度的影响占主导地位，即σf'/σ0'越大，固结度越小。从数学角度看，cc/ck>1时，随σf'/σ0'的增大η减小，使得固结度间接减小。对比图3（a）、（b）可以看出cc/ck>1的情况下，σf'/σ0'对固结度的影响较cc/ck<1时小。

不同边界条件对固结过程的影响见图4。根据边界条件式（10）可知，随着参数b和。的增大，土层顶面及底面的孔压消散速度加快，固结度增大。当b=c=0时，土层顶面及底面的孔压恒为初始超静孔压，即皆为完全不透水边界，土中超静孔压无法消散；当b=c→∞时，土层顶面及底面的孔压恒为0，即皆为完全透水边界，此时土中超静孔压消散速度最快。因此，随着参数b和c的增大，土层固结度逐渐增大。

6 结论

在非线性一维固结理论的基础上，提出了符合坝基非线性一维固结特征的广义透水边界条件，建立了广义透水边界下坝基非线性一维固结理论模型，给出了相应的解析解，并通过公式的退化验证了解答的正确性。最后通过算例分析了不同条件下地基的固结特性。结论如下：

（1）在透水边界条件及外荷载固定的情况下，固结度随着cc/ck的增大而减小，且固结度减小的比例越来越小。

（2）当cc/ck<1时，mv对固结度的影响逐渐起控制作用。此时，σf/σ0'越大，固结度越大；当cc/ck>1时，kv对固结速率的影响占主导地位，即σf'/σ0'越大，固结度越小。

（3）随着参数b和c的增大，土层顶面及底面的孔压消散速度加快，固结度逐渐增大。

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