双渠道供应链中时滞价格博弈模型的稳定性分析

司凤山，王 晶，徐 勇

(1.安徽财经大学 管理科学与工程学院，安徽 蚌埠 233030;2.蚌埠学院 理学院，安徽 蚌埠 233030)

随着互联网的迅猛发展，产品销售也由单一渠道拓展为双渠道。这势必造成传统的零售商线下渠道与制造商直销渠道之间形成一种竞争博弈关系。学者们已从风险规避[1-4]、公平关切[5-9]、需求扰动[10]、收益协调[11-13]、产品回收[14-16]等方面对双渠道供应链中的博弈行为进行了大量研究，给出了各决策主体的最优博弈策略，为双渠道供应链的稳定健康发展奠定了坚实的理论基础。其中，文献[17]研究了由一个制造商和一个零售商组成的双渠道供应链模型,模型中制造商把生产的产品批发给零售商进行线下销售，同时还通过网络渠道展开直销。该文主要分析了考虑产品质量时的价格博弈问题，给出了集中决策和分散决策下的最优策略解析表达式。并在考虑生产成本、销售成本和批发价格的基础上，给出了零售商和制造商的利润函数：

式中:πr和πm分别为零售商和制造商的利润；pr和pm分别为零售商渠道和制造商直销渠道的产品售价；w为制造商给零售商的批发价格；c为单位产品的生产成本；cr和cm分别为零售商渠道和制造商直销渠道的销售成本；Dr和Dm分别表示零售商渠道和制造商直销渠道的产品需求量；kQ2/2为制造商提高产品质量的投入成本；Q为产品质量；k为成本投入系数。

文献[17]借助最优化理论与方法研究了制造商和零售商在不同决策模式下的最优策略问题。而笔者将在上述制造商和零售商利润函数的基础上，构建基于产品质量的、采用延迟策略的微分价格博弈模型。利用非线性动力学理论和复杂系统理论讨论模型Hopf分岔的存在性和局部渐近稳定性，探究时滞参数、渠道替代度和产品质量对价格和利润的影响，并针对失稳系统采取延迟反馈控制法进行稳定性控制。笔者从系统演化和稳定性的角度展现了价格博弈过程，力争为制造商和零售商的价格决策提供参考。

1 价格博弈模型

边际利润是制造商和零售商进行价格决策的基础，反映了提高产品单位价格能给企业所增加的利润。制造商和零售商的边际利润函数分别为:

(1)

式中：αr和αm分别为零售商渠道和制造商直销渠道的最大潜在需求量；θ为渠道间的可替代程度，0<θ<1，θ=0表示渠道间完全独立，θ=1表示两渠道完全可替代，这两种极端情况暂不考虑；γ为产品质量对渠道需求量的影响系统。

制造商和零售商依据式(1)进行决策，如果边际利润为正，制造商则提高直销价格pm和批发价格w，零售商则提高零售价格pr；如果边际利润为负，双方则降低相应的价格。因此，制造商和零售商的价格动态调整过程为[18]:

(2)

式中：vr、vm和vw分别表示零售价格、直销价格和批发价格的调整速度。

为了提高决策的科学性，零售商往往希望综合考虑当前价格和历史价格进行决策，此时的零售价格为：

(3)

由式(2)和式(3)可得：

(4)

由于市场信息的不对称性，当前价格较难准确及时获取，所以笔者仅考虑零售商只参照τ时刻之前的历史价格进行决策的情况，故令wr=0。因此，得到最终的价格博弈模型为：

(5)

2 Hopf分岔的存在性及局部渐近稳定性

(6)

式(6)的特征方程式为：

(7)

即：

λ3+B2λ2+B1λ+(C2λ2+C1λ+C0)e-λτ=0

(8)

λ3+(B2+C2)λ2+(B1+C1)λ+C0=0

(9)

根据赫尔维茨定理知：如果条件(H1)：B2+C2>0，B1+C1>0，C0>0，(B1+C1)(B2+C2)-C0>0成立，则式(5)在平衡点E处渐近稳定。

当τ>0时，假设λ=iω(ω>0)是式(8)的一个根，将λ代入式(8)则有：

(10)

从而得到：

(11)

进而得到：

ω6+M4ω4+M2ω2+M0=0

(12)

令：

f(ω)=ω6+M4ω4+M2ω2+M0

(13)

(14)

(15)

则当τ=τ0时，式(8)有一对纯虚根±iω0。对式(8)左侧求λ关于τ的导数，整理后取倒数可得：

(16)

将λ=iw0代入式(16)，并取实部可得：

(17)

如果条件(H3)：G(ω0)≠0成立，则式(5)满足Hopf分岔的横截性条件。根据文献[19]，可得到如下结论：

3 数值仿真及分析

为了验证理论分析的正确性，充分展现系统的复杂动力学演化行为和分岔现象，令式(5)中的参数取值如下：αm=1.1，αr=1.1，vr=0.5，vm=0.5，vw=0.5，θ=0.5，cr=0.6，cm=0.4，c=0.3，γ=0.8，Q=1。则式(5)可变为：

(18)

计算可得式(18)的平衡点为E(1.333,1.165,0.734)，B2+C2=2.498>0，B1+C1=1.647>0，C0=0.214>0，(B1+C1)(B2+C2)-C0=3.9>0。因此，当τ=0时，式(18)在平衡点处渐近稳定。

当τ>0时，计算可得ω0=1.3，τ0=0.824。根据定理1可知，当τ=τ0时产生分岔，如图1所示。

图1 式(18)关于τ的分岔图

由图1可知，随着τ的逐渐增大系统由稳定状态转为不稳定状态。此时价格市场较为混乱，出现了批发价格大于直销价格和零售价格的不合理现象。因此，应确保时滞参数τ在合理的范围内，以便保持价格市场的稳定。

为了更直观地观察式(18)在τ0两侧状态的不同，分别取τ=0.82<τ0和τ=0.84>τ0，对应的吸引子如图2所示。当系统处于稳定状态时，价格经博弈后会趋于平衡点E，如图2(a)所示。而图2(b)则表示系统不稳定时，博弈后的价格趋于极限环，因此应避免发生此类情况。

图2 式(18)的吸引子

式(5)中涉及到渠道间的可替代度θ和产品质量Q两个重要的决策因素。当τ=0.5<τ0时，式(18)关于θ的变化趋势如图3所示。

图3 当τ=0.5时，θ对式(18)的影响

从图3可看出，随着直销渠道和零售商渠道可替代度的增加，导致零售价格pr和直销价格pm逐渐接近。尤其当θ较大时，还会引起价格无规则波动。所以，渠道间有必要保持一定的差异度，例如零售商渠道可以充分利用与消费者面对面接触的机会，通过优质的服务和舒适的消费环境促进产品销售，而直销渠道可以凭借价格优势和便捷性吸引更多消费者。

提高产品质量Q，可以增加产品销量，从而增加制造商和零售商的利润。但对于制造商而言，提高产品质量会增加制造成本。因此，制造商不能无限制地提高产品质量，其存在一个最佳值，这与文献[17]中通过优化方法得到的结论一致，如图4所示。对于零售商而言，产品制造成本的增加必然导致批发价格w的上涨，所以πr的变化趋势与πm类似，不再赘述。

图4 当τ=0.5时，Q对制造商利润πm的影响

4 稳定性控制

根据定理1可知，τ大于临界值τ0时系统会失去稳定，τ值越大价格波动越剧烈。以式(18)中的零售价pr为例，当τ=1>τ0时，零售价格pr的时间序列图如图5所示。

图5 当τ=1时，零售价格pr的时间序列图

为了摆脱系统失稳的不利影响，可以通过调节τ值或者采取控制措施迫使系统重返稳定状态。笔者利用延迟反馈控制法对式(18)在τ=1时的状态进行控制。式(18)在增加控制项后变为：

(19)

其中，μ为控制参数，通过调节μ的值可以达到控制效果。式(19)关于μ的分岔图如图6所示。由图6可知，分岔临界点为μ0=0.201，当μ<μ0时，式(19)不稳定；当μ>μ0时，式(19)稳定。分别取μ=0.18<μ0，μ=0.23>μ0，μ=0.50>μ0，其对应零售价格pr的时间序列图如图7所示。

图6 当τ=1时，式(19)关于μ的分岔图

显然，当μ小于临界值时，系统没有得到有效控制；但当μ大于临界值时，系统控制效果较好，且μ越大控制效果越理想。

图7 当τ=1时，零售价格pr的时间序列图

5 结论

笔者在文献[17]的基础上，分析了零售商采取延迟决策对系统稳定性的影响，探究了对失稳系统的有效控制。通过构建时滞价格博弈模型，分析了Hopf分岔的存在性和局部渐近稳定性。此外，借助数值仿真验证了理论分析的正确性，分别讨论了渠道替代度和产品质量对价格和利润的影响。最后，对失稳系统进行了有效控制。研究表明，时滞参数必须保持在较小的范围内，否则会引起价格波动；渠道替代度和产品质量必须考虑最优解，不可盲目提高。与文献[17]相比，笔者不但构建了带时滞的价格博弈模型，而且还采用了系统演化的方法分析了参数对系统稳定性的影响，是文献[17]研究结论的一种拓展和补充。

此外，笔者只考虑了零售商采取延迟策略的情况，而研究制造商和零售商同时采取延迟策略的博弈行为将更有意义。数值仿真中的参数如果选取市场中的经济运营数据，将使仿真结果更有价值。这是笔者未来的研究内容和方向。