浅谈求解常微分方程中的增失根问题

侯晓丽 李永凤

【摘要】求解微分方程是常微分方程课程中非常重要的内容，求解过程中难免会出现增失根问题。本文对增失根的原因进行了深入的讨论，并给出了一些有益的建议。

【关键词】常微分方程 增根 失根

【基金项目】本文由“郑州轻工业学院第三批青年教师教学改革与研究项目”、“郑州轻工业学院第十一批教改项目”资助。

【中图分类号】G4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0107-02

在常微分方程中，相当一部分内容就是求微分方程的解，例如：一阶显式微分方程的求解、一阶隐式微分方程的求解、高阶线性或非线性微分方程的求解、一阶线性微分方程组的求解以及求微分方程的求解等，求解过程中不可避免的会做变量替换，或对方程两边积分或求导等运算，都会产生增根或失去方程的某个根，尤其是非线性微分方程，没有固定的解法且求解过程相对复杂，更易产生增失根问题。本文对几类常见的微分方程的增失根问题进行分析。

一、对方程做恒等变形时易失根

例：求解微分方程x =y-1

解：两边分离变量得： = ，

两边积分得方程的解为y-1=Cex，其中C为非零常数。

显然方程有一失根y=1。

例：求解方程ydx+（y-x）dy=0

解：方程有积分因子μ= ，以积分因子乘方程两边得 + =0

因而通解为 +lny=c。显然y=0也是方程的根。

这种情况还有很多，例如伯努利方程，做变换z=y-n化为一阶线性微分方程时易失根y=0。

解决办法：变换前先检查方程有没有常值解满足方程，找出这些解后再对方程做变换或变量分离，避免失根。

二、过度求导会产生增根

对一阶隐式微分方程，当方程中不显含x时，一般的做法就是令y'=p，把方程化为关于y和p的方程，然后两边再关于x求导，化为关于p和x的一阶微分方程，求出p后代入y的表达式，即得方程的解。例

y'2-2y=0 令y'=p，则得y= p2，两边关于x求导，得2p =2y'=2p故p=0或 =1。由p=0得y=c1，由 =1得p=x+c2

从而原方程的解为y= （x+c2）2

现在把方程稍微改动一下，变为

y'2-2y'=0 同樣令y'=p，则得p2-2p=0，

故p=0或p=2。由p=0得y=c1，由p=2得y=2x+c2

故原方程的解为y=c1或y=2x+c2

授课过程中发现有相当多的同学是这样做的：

y'2-2y'=0同样令y'=p，则得p2-2p=0，

因为方程是隐式方程，不显含x，两边对x直接求导得

2p -2 =0，解得p=1和 =0，于是方程的解为y=x+c1或y=2x+c2，显然过度求导后方程失去了根y=c1，却增加了根y=x+c1。

解决方法：解方程过程中尽量避免对方程求导，确需求导的最后一定要对所求根进行检验。

三、两边求积分时定义域发生改变会产生增失根

微分方程最后都是通过积分得到方程的解。在对方程两边求积分过程中有时会导致其定义域发生改变，从而可能产生增根或失根，尤其是对一阶线性微分方程用公式求解更易导致定义域发生改变。

例：求解微分方程y'- y=x

这是一个简单的一阶线性微分方程，由求解公式得

y=e （ Q（x）e dx+c）

=e （ xe dx+c）

=x（x+c）=cx+x2

由原方程知定义域要求自变量x不能等于0，但方程的解中没有这个限制，因此方程的解中包含了一个增根。故原方程的通解为y=cx+x2， x≠0。

以上是求解微分方程过程中最常见的产生增根或失根的原因，当然还有其他原因，例如把常数换成对数常数，求积分过程中加绝对值符号、马虎等都会导致增失根。因此，求解微分方程时要注意这些增失根现象，求解方程后要加强对根的检验，只有这样才能准确圆满的解得方程的所有解。

参考文献：

[1]王高雄等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社， 2013.

[2]曹之江.常微分方程简明教程[M].北京：科学出版社，2017.

[3]朱思铭.常微分方程学习辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]V.I.阿诺尔德（俄）.常微分方程[M].北京：科学出版社，2017.

[5]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，2009.