梅森素数为什么这么重要？

许家辉

“它反映了一个国家的科技水平，是人类智力发展在数学上的一种标志，更是整个科技发展的里程碑之一。梅森素数究竟是个怎样的数，为何如此重要呢？”

众所周知，素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数。2300多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个，如2、3、5、7、11等等。在素数的探究中，人们发现少量的素数可表示为2^P-1（即2的P次方减1，其中指数P为素数）的形式，如2^2一1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。由于这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，它吸引了包括数学大师欧几里得、笛卡尔、费马、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯和图灵等在内的众多数学家和无数的业余数学爱好者。

17世纪的法国数学家马林·梅森在欧几里得、笛卡尔、费马等数学大师的有关研究基础上对2^P-1型素数作了大量的计算、验证。由于梅森学识渊博、才华横溢，是法兰西科学院的奠基人和当时欧洲科学界的中心人物。为了纪念他，数学界就把2^P-1型素数称为“梅森素数”。2300多年来，人类仅发现50个梅森素数。这种素数稀奇而迷人，故被人们称为“数学领域的璀璨瑰宝”。

梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，还需要进行艰苦的计算。例如，1772年，素有“数学英雄”之称的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1是第8个梅森素数；这个具有10位的素数（即2147483647），堪称当时世界上已知的最大素数。他的的顽强毅力和解题技巧都令人赞叹不已；难怪法国大数学家拉普拉斯经常对他的学生说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，一共只找到12个梅森素数。

即使是在“计算机时代”，每一个梅森素数的产生都艰辛无比，并且存在着十分激烈的竞争。例如，在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家戴维·史洛温斯基和哈利·纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数2^23209-1时，有人告诉他们：在两星期前美国加州的高中生兰登·诺尔就已经给出了同样结果。为此他们发愤忘食，又花了一个半月的时间，找到了第27个梅森素数2^44497-1。

梅森数的素性检验难度是非常大的。法国数学家爱德华·卢卡斯和美国数学家德里克·莱默在这方面做出了重要贡献；以他们的姓氏命名的“卢卡斯-s莱默检验法”是迄今为止判断梅森数素性最快最有效的工具。另外，探究梅森素数的重要性质——分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。中国数学家和语言学家周海中在这方面取得了重大突破；以他的姓氏命名的“周氏猜测”叙述了梅森素数的分布状况，并给出了精确表达式。

网格计算的出现使梅森素数的寻找工作如虎添翼。1996年美国数学家和计算机专家乔治·沃特曼编写了一个寻找梅森素数的计算程序，并把它放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用；这一计算程序就是举世闻名的“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目，也是全世界第一个网格计算项目。现在人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件，就可以马上搜寻新的梅森素数了。

美国洛杉矶加州大学的计算机专家埃德森·史密斯通过参与GIMPS项目，于2008年8月找到一个超过1000万位的梅森素数——2^43112609-1。这一重大成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。史密斯获得了电子前沿基金会（EFF）颁布的10万美元大奖，并受到了学校的表彰。2017年12月26日，美国田纳西州杰曼镇的业余数学爱好者乔纳森·佩克通过参与GIMPS项目发现了第50个梅森素数2^77232917-1。这一巨大素数共有23249425位。假设我们每一秒钟写一个数字的话，要连续写近200个昼夜才能写完！

梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径，它的探究可以推动数论的研究，还可以促进密码技术、网格计算技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换和快速椭圆加密系统的应用。另外，在梅森素数的探究过程中，人们可以发现计算机芯片存在的问题。

有专家认为，梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席、《素数的音乐》一书作者马科斯·索托伊甚至認为，梅森素数的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。（编辑/任伟）