基于动态柔度极小目标的光电跟踪设备拓扑优化方法研究

王强龙，谢军，宫鹏，2，王晓明，刘震宇

（1.中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，长春 130033；2.中国科学院大学，北京 100049）

光电经纬仪[1]设备用于跟踪和测量动态目标的运动轨迹和运动姿态。车载、船载光电经纬仪需要结构部分轻量化、动态刚度好，尤其是在快速跟踪测量过程中，需要结构的动态刚度足够大[2]，光轴扭动足够小。光电经纬仪在观测状况下引起结构振动的激励来源是电机或旋转伺服等周期载荷，而有限带宽谐激励下的响应峰值影响成像精度和稳定性[3-8]。因此，目标区域或指定点的动态柔度特性极小化设计是够保证跟踪系统跟踪性能以及光学系统精度的重要手段。

本工作利用经典SIMP拓扑优化设计方法，以Du[3]等人定义的内积平方形式的动柔度目标作为基础，提出多工况动柔度宽频激励优化模型并推导其敏度表达。通过定义多工况宽频段激励目标，利用动柔度设计的方法进行结构的优化设计。针对经典的立柱支撑结构，综合参考结构负载和激励目标频段后对光学支撑找准架三维结构提出多工况优化设计方法；并对两工况（静载+扭转动载）以及三工况（静载+扭转动载+晃动动载）下的优化模型及其优化算法进行数值验证，获得了多工况下动柔度极小的拓扑优化构型以及间接实现多特征值极大化优化方法，以期为同类负载下的结构设计提供参考。

1 基于动态柔度极小的多工况拓扑优化模型

1.1 基于SIMP方法的拓扑优化模型简述

基于微结构和均匀化[4，9，10]方法扩展的 SIMP[5]（Solid Isotropic Microstructure/Material with Penal⁃ty）拓扑优化模型，通过带惩罚项的材料相对设计变量ρ插值。结合滤波[6]等方法避免掉网格依赖、棋盘格等问题后，通过优化迭代将设计变量收敛到接近0或者1。本文所使用的单材料SIMP插值模型如下：

1.2 考虑工况的多频（频带）动态柔度最小化拓扑优化模型

对于光电跟踪设备而言，伺服控制频率通常为某一频率段的激励频率，有必要考虑在工况激励频率下，综合分析结构动态响应特性频率，对区段内动态柔度特征进行多目标极小分析。本文采用Du[3]定义的动态柔度模型，将外载荷幅值和载荷作用点处的结构位移的稳态响应幅值的乘积在整个作用域的积分作为优化目标。结构在多频激励下的动态柔度最小化问题实则为多目标优化问题，将各个频率下的子目标写成加权求和形式作为新目标进行优化。在指定的频率区间内选定若干采样点ωk∈[ ]ωl,ωh,k=1,…,Nω，分别计算各采样点处的目标函数的频响，最终的目标采用加权求和的形式表达。在目标频率区间内的动态柔度最小化拓扑优化模型（忽略阻尼）如下：

其中约束的第二式为结构稳态响应方程，ωk为给定简谐变化的外载荷的圆频率，wk为预先给定的与频率ωk对应的权重系数。为动态刚度矩阵；ωk为给定简谐变化的外载荷的圆频率；外载荷表示形式为p(t)=Peiωkt，ωk∈[ωl，ωh]，k=1,…,Nω；对应稳态位移响应为x(t)=Ueiωkt。α为材料体积上限V*；相对于设计域体积V0的体积比。其中P和U分别代表有限元离散后的外载荷幅值向量和结构稳态位移响应向量幅值。考虑到多目标优化的复杂性，下文中暂取wk=1。ρe为设计变量。对应稳态位移响应为x(t)=Ukeiωkt ωk∈[ωl，ωh]，k=1,…,Nω。进行优化正问题求解时，进行扫频步进谐响应分析从而得到待计算区段内最小柔度累加目标。敏度分析后对设计变量进行迭代更新。

1.3 多目标动态柔度最小化拓扑优化模型敏度分析

目标函数对拓扑设计变量ρe直接求导：

利用优化准则方法（OC）对优化模型进行迭代求解。

1.4 静态柔度极小目标及敏度分析

静载荷下的优化设计模型相当式（2）及式（3）中谐激励频率w＝0的情况，其优化模型和敏度表达式只需将ωk置零即可。

2 光电跟踪设备找准架动态刚度极大化设计

光电经纬仪在其工作运转时，光学主系统的转动要求其支撑系统的动态刚度足够大，否则将对跟踪精度和成像质量产生明显的影响。因垂直轴在跟踪过程中系统激励载荷为扭转形式载荷，找准架（如图1）承接光学设备和立柱，左右立柱的扭转刚度同时影响伺服系统和光学成像质量。因此找准架在伺服激励输入下的动态刚度极大十分重要。

图1 经纬仪结构以及找准架设计域和载荷工况示意图

图2 载荷工况视图和约束视图

2.1 找准架的跟踪优化模型和负载设计

找准架计算模型如图1所示，网格模型中单元总数为136224个，全部采用正六面体网格划分左右立柱在X和Y方向上的一阶动态弯曲动刚度影响中间四通的跟踪稳定性和精度，因此下面主要针对左右立柱进行设计优化。经纬仪在跟踪中，沿X方向和Y方向中的晃动对于跟踪精度影响最大，四通和镜筒在跟踪找准架下以等效加速度的形式作用于垂直轴上。如图2所示为半周期载荷作用的工况，载荷加载于轴承座上。其中，支撑静载荷为立柱负载载荷，扭转动载荷为Y方向左右扭转载荷，晃动动载荷为X方向弯曲载荷。三个工况都约束底部边界进行计算。计算正问题时，针对半周期下结果进行计算，之后将解对称求解即可得。

2.1.1 设计目标

在伺服激励跟踪状态下，保证设备足够的静态刚度之后，需要在伺服激励频段内有足够的刚度以稳定光轴。本文选取的初始设计域是在经典找准架基础上提炼而来，根据以往的测试和伺服试验，将Y方向也即扭转动载Dynamic Load 1（DL1）的优化频段选取为50～60Hz，将X方向也即晃动动载Dy⁃namic Load2（DL2）的激励频段选取为20～30Hz。另外，为考虑到设计完整性，经纬仪结构的主要承载目标特性也需要考虑在内，也即添加Static Load1静载，一并进行优化设计。

在静载荷Static Load1作用下，设计目标为JST1；在DL1也即扭转动载作用下，设计目标为JDL1：50-60Hz。在晃动动载DL2动载作用下，优化目标为JDL2：20-30Hz。有鉴于找准架在扭转载荷下影响更为明显，下面将对如下两个多工况算例进行优化设计：

两工况：静载（ST1）+扭转动载（DL1）

其中，α1和β1为目标权重配比系数，为使得计算目标在总目标中权重量级匹配，后文中取α1=100，β1=1。

三工况：静载（ST1）+扭转动载（DL1）+晃动动载（DL1）

其中，α2、β2和γ2为目标权重配比系数，为使得计算目标在总目标中权重量级匹配，下文计算中取α2=100，β2=γ2=1。

2.1.2 初始设计目标的选取

动刚度优化和静载荷优化所不同，存在目标参数非正定的情况。另外，初值区间和优化路径严重影响优化的结果[7]。而本文的优化目标在于，在图1的初始设计域内找出目标区间内扭转动态刚度极大和晃动动载刚度极大的设计。有鉴于全填充设计域内扭转刚度已经很高，将全填充的设计域作为初始设计变量显然并不可取。因此，本文借助于SIMP插值方法找寻初始设计点。

Step1：分析全填充情况下图1中Point A点频响，此时在 SIMP 插值模型中，ρe=1,p=1，计算频响曲线。

Step2：扭转载荷下，频响曲线峰值点若不在设计目标频段内，改变SIMP插值参数。直到找到合适的插值初始点为止。

设计变量改变时，A点频响函数曲线如图3所示。

图3 ρe=0.1，p=3；ρe=0.2，p=3点A频响曲线

设计变量不同时，A点频响函数曲线借助以上设计思路，在初值为ρe=0.1，p=3情况下，初设设计域共振频率见表1所示。其中，与DL1载荷非正交的第1、2、5、6、7、8阶模态可能影响结构在目标频段的动柔度设计，与DL2载荷方向非正交的第3、4、5、6阶模态可能影响结构在目标频段的动柔度设计。

表1 ρe=0.1，p=3各阶共振频率

2.2 找准架优化动载荷下优化分析结果讨论

2.2.1 两工况优化算例结果

静载荷ST1和扭转动载荷DL1作用，在体积分数约束为Vol=0.1情况下，优化结果如图4和图5所示。优化设计后结构在动载荷DL1作用下Point A频响曲线如图6所示。从图4和图5的ZY投影视图可以看出，当体积分数为Vol=0.1时，优化结果和二维梁结构基频极大化设计结果类似[8]，在YZ投影方向呈现X形结构，且仅在另外一个维度上做平移拓展。而当体积分数Vol=0.2时，优化设计结果虽然在ZY投影方向上仍旧和小体积分数下的结果类似，但在另外一个维度上则有所差别。对比图4（b）和图5（b）可以看出，在两工况下最终优化拓扑并未明显受到体积分数的影响，也就是在扭转谐激励下的优化计算呈现保拓扑特性。

图4 静载+扭转动载优化结果Vol=0.1

图5 静载+扭转动载优化结果Vol=0.2

图6的优化后频响曲线表明，在扭转动激励载荷（Dynamic Load 1，Y方向）载荷作用下，结构在此方向的共振频率趋向于远离激励频段以降低响应幅值。从图6中可以看出，在100～200Hz之间有较小的峰值，此峰值为轴承孔部位局部模态导致。而当体积分数变为Vol=0.2时，相对应的峰值则上升到300Hz左右。

图6 静载+扭转动载优化后频响曲线Vol=0.1&Vol=0.2

2.2.2 三工况优化算例

在静载荷ST1、扭转动载DL1以及晃动动载DL2三工况作用下，优化结果如图7（体积分数Vol=0.1）和图8（体积分数Vol=0.2）所示。图7（c）为ZY方向投影视图。Vol=0.1时，三工况优化结果和两工况结果类似，以立柱加十字叉形式为主。在另外一个方向上图7（b）中，由于晃动动载Dynamic Load 2谐激励作用下正方向和反方向在立柱和回转圆盘连接处的刚度不一致，导致优化出的结构并未呈现对称X形。

图7 三工况（静载+扭转动载+晃动动载）优化结果Vol=0.1

图8 三工况（静载+扭转动载+晃动动载）优化结果Vol=0.2

在体积分数Vol=0.2时，设计材料更倾向于分布在结构内侧立柱，而最终呈现的拓扑构型则和Vol=0.1时类似。图9是体积分数Vol=0.1时，经过优化设计后结构在扭转动载Dynamic Load1和晃动动载Dynamic Load2作用下的点A频响曲线。图10是体积分数Vol=0.2优化设计后，结构在扭转动载Dynamic Load1和晃动动载Dynamic Load2谐激励载荷作用下的频响曲线。Vol=0.2时，优化设计后的结构无论时在扭转动载DL1载荷作用方向上，还是在晃动动载DL2载荷作用方向上，共振频率都要高于Vol=0.1激励下的设计结果。对比图10和图6，增加工况下，在扭转方向（DL1载荷作用方向）共振频率要稍低一些以满足另外一个工况下的设计。

图9 三工况优化设计后频响曲线Vol=0.1，扭转动载Dynamic Load 1载荷作用下A点频响&晃动动载Dynamic Load 2载荷作用下A点频响

从表2中对比两工况和三工况下的频率可知，在加入X方向晃动动载DL2谐激励后，X方向一阶弯曲基频相较于两工况结果有所提升，而在Y方向则有所降低。更多工况下呈现的结果以平衡各阶响应幅值为主。

表2 优化设计后体积分数Vol=0.2的结构前八阶共振频率

3 结语

本文给出了利用SIMP拓扑优化方法，以动柔度平方形式作为目标进行的多工况宽频段三维结构拓扑优化模型。目标频段的动柔度极小设计思路可用于谐激励下结构响应幅值极小化的设计，结构在激励频段下的极小化也意味着振动噪声的降低以及系统稳定性和控制精度的提升。加入静载工况后，拓扑优化呈现的结构接近于设备实际工作状态。针对光电经纬仪找准架结构的拓扑优化结果表明此方法有如下特点：

（1）多目标特性下的动柔度极小拓扑优化能够降低特定点的频响峰值，从而保证在指定谐激励下的响应量级极小。

（2）动柔度极小拓扑优化使得结构基频远离特定伺服频率，最终呈现的优化结果和基频极大化设计结果类似。

利用多工况动柔度极小作为目标进行结构拓扑优化，在合适的激励频率以及适当的非正交谐激励载荷下，此方法给出的拓扑构型在满足在动柔度极小的情况下能间接实现多个特征频率极大化设计，无需考虑重频以及模态交换等对于优化过程的干扰。相较于单一基频极大化设计方法，对于工程设计有很好的应用参考价值。