基于(T，S)策略的装备可修复备件两级库存配置建模

吴龙涛， 王铁宁， 可荣博， 曹钰

(1.陆军装甲兵学院 装备保障与再制造系， 北京 100072； 2.61377部队， 广东 深圳 518017)

0 引言

随着装备升级换代和修理方式变革，可修复备件在备件保障经费中所占比重越来越大。在制定备件配置计划时，既要满足规定的备件保障效能指标要求，又要尽量减少备件配置费用。当前我军装备备件保障工作中，关于可修复备件的保障机制尚不完善，一方面故障件长期积压，得不到及时修复和再利用；另一方面由于供应不及时经常发生短缺，保障效果不理想。因此，完善可修复件保障机制，合理配置可修复备件在各级的库存种类和数量，对于提高装备战备完好性和备件保障效益具有重要作用。

由Sherbrooke提出并完善的METRIC理论[1]，是可修复备件库存控制领域的理论基础，应用十分广泛。多年来，国内外众多学者纷纷对此进行了应用推广和性能改进，取得了显著成果。罗祎等[2]基于VARI-METRIC理论建立了3级供应体系的备件配置模型；阮旻智等[3]增加了备件体积和质量约束，以任务成功率为目标建立了作战单元携行备件配置模型；聂涛等[4]研究了METRIC理论在K:N冗余雷达系统备件供应优化中的应用；阮旻智等[5]、Park等[6]和张帅等[7]放宽了METRIC模型中的无限维修渠道假设，基于排队论对备件供应渠道进行了修正；Lau等[8]、徐立等[9]和Yoon等[10]同时放宽了无限维修渠道和稳态泊松需求假设，分别建立了时变需求和伽马随机需求的系统使用可用度模型；刘任洋等[11]提出了考虑横向供应的多级不完全修复件初始库存配置方案；周亮等[12]则建立了串件拼修策略和非稳态需求下的装备可用度模型；Nowicki等[13]和阮旻智等[14]对求解METRIC模型的边际分析算法进行了改进；Tovia等[15]和Basten等[16]还分别将维修渠道配置和备件修理级别分析与备件配置进行了组合优化。

通过查阅国内外文献发现，现有的可修复备件研究成果几乎都以(S-1，S)库存策略为前提，即每当基层仓库消耗1件库存，就向基地仓库申请1件备件。虽然可有效减少库存配置数量和保障经费，但主要适用于价格非常昂贵、需求率又非常低的极少数备件。对于大多数普通的可修复备件，(S-1，S)库存策略不仅不能有效节省库存配置成本，反而会产生巨大的业务量和运输费用。结合部队业务实际情况，大部分装备可修复件更适合采用(T，S)库存策略，即基层仓库定期向基地仓库申请备件。因此，本文首先描述了(T，S)库存策略下装备可修复件两级供应保障模式；然后综合考虑报废率、申请延误等因素，研究了多种基于(T，S)库存策略的保障效能评价指标；在此基础上，建立了以装备使用可用度为约束、备件配置费用最低为目标，运用边际分析法求解的最佳备件配置模型；最后通过算例对比分析，验证了模型的合理性和有效性。

1 备件保障过程描述

采取(T，S)库存策略的装备可修复备件两级供应保障过程如图1所示。每个基层级单位由基层部队、基层仓库和基层维修机构组成；每个基地级单位由基地仓库和基地维修机构组成；基层仓库和基地仓库分别配置指定数量的可修复备件。基层部队装备部件发生故障时，如果基层仓库有备件，就调拨备件实施换件维修，恢复装备性能；如果基层仓库备件库存为0，则等待本级修复或下一周期基地补给后再进行换件维修。故障件在基层具有一定的修复概率(如果本级没有修复能力，则修复概率为0)，修复后存入本级仓库；如果基层不能修复，则先由基层仓库暂存。基层仓库按周期T定期向基地仓库申请备件，申请量为库存配置量S与申请时库存余量的差。在申请的同时，基层仓库将其暂存的本周期无法修复的故障件上交基地修复。基地仓库接到申请后，向各基层仓库补给备件，同时对接收的故障件进行修复，修复后存入本级仓库；如果不能修复则报废，同时向厂家订购同样数量的新备件维持整体库存水平。订购的备件在下一周期内到达。

2 备件库存配置建模

2.1 基本思路与模型假设

图2所示为(T，S)库存策略下基层备件库存量的变化过程。其中：t1、t3和t5为基层仓库备件申请时刻，则申请周期T=t3-t1=t5-t3；t2、t4和t6为基层仓库申请备件到达时刻。由于基层需求上报和基地仓库调拨过程都需要花费一定时间，所以从备件申请开始到补给到达之间存在一定的时间延误tD=t2-t1=t4-t3=t6-t5. 而且，由于延误时间内的备件消耗，补给到达后基层备件库存数量一般小于S. 基层仓库在申请时刻t1、t3和t5同时上交无法自行修复的故障件。为了避免故障件逐年积压失修，假设每次上交的故障件都可以在接下来的一个申请周期内得到修复。例如：在t1时刻回收的故障件将在[t1,t3]周期内得到修复；而因报废向厂家订购的新备件将在[t3,t5]周期内到达。

设当前为t3时刻，在已知备件需求(包括预防性维修需求和修复性维修需求)分布[17]的条件下，可以计算出在上一申请周期[t1,t3]内各基层故障件数量的概率分布。将上一周期内各基层故障件数量之和与基地仓库备件库存配置数量S0比较，即可得出基地仓库可补给备件数量。在此基础上，结合下一周期[t3,t6]内的故障件数量概率分布，即可计算下一周期内任一时刻基层的装备使用可用度。因为申请延误的存在，下一周期的时间区间应为[t3,t6]，即T+tD，而不是[t3,t5]或T.

为了便于建模和求解，进行如下假设：

1)申请周期T和申请延误tD均固定不变；

2)每次装备停用都是由单一部件故障造成的；

3)基层各项备件需求相互独立，均服从泊松分布；

4)修复故障件所需子级备件充足，无短缺；

5)不存在串件拼修和横向调剂供应。

2.2 备件短缺分析

设基层单位数量为I，装备可修复件共J项，基层仓库i(i=1,2,…,I)第j(j=1,2,…,J)项备件的故障率为λij，本级可修复概率为rij，平均修复时间为Wij，库存配置数量为Sij,第j项备件在基地的报废率为b0j，库存配置数量为S0j. 基于图2中的t3时刻，计算在下一周期结束时刻t6基层仓库i第j项备件的期望短缺数。

基层仓库i第j项备件的库存配置Sij中，一部分用于满足本级可修复备件需求，另一部分用于满足本级无法修复备件需求。根据Palm定理，基层维修机构i第j项备件在修复数量Mij服从均值为λijrijWij的泊松分布P(mij),基层仓库i下一周期内本级无法修复的备件需求Dij服从均值为λij(1-rij)(T+tD)的泊松分布P(dij).Mij与Dij的和构成了基层仓库i下一周期的备件需求Xij. 由于Mij与Dij相互独立，根据泊松分布的可加性，Xij服从泊松分布P(xij)，且均值为

E[Xij]=λijrijWij+λij(1-rij)(T+tD).

(1)

在申请时刻t3，基地接收各基层仓库上交的在[t1,t3]周期内产生的无法自行修复的故障件，并向基层仓库补给同样数量的备件。设这部分备件数量为D0j，则D0j服从泊松分布P(d0j)，且均值为

(2)

其中，来自基层仓库i的需求所占比例为

(3)

同时，基地在t1时刻接收并在[t1,t3]周期内进行修复的故障件中，还会产生一定数量报废件，这部分备件在下一周期[t3,t5]内才能由厂家补给到位。设这部分备件数量为O0j，则O0j服从均值为λ0jb0j的泊松分布P(o0j).D0j和O0j共同组成了基地仓库在t3时刻的待接收备件数量X0j. 根据泊松分布的可加性同样可得，X0j服从均值为λ0j(1+b0j)的泊松分布P(x0j).

若基地仓库待接收备件数量X0j≤S0j，则基地仓库就能完全满足各基层仓库的备件需求，使其库存恢复到Sij，进而当基层仓库i在下一周期T+tD内恰好发生Sij+1次需求时，就会出现恰好1次短缺。同样，若X0j>S0j且fij(X0j-S0j)=1，基地仓库的补给只能使基层仓库i的库存恢复到Sij-1，进而当基层仓库在下一周期内发生Sij次需求时，也会出现恰好1次短缺。依此类推，综合各种情况可得，基层仓库i第j项备件在下一周期恰好发生1次短缺BOij的概率为

(4)

同理，基层仓库i第j项备件恰好发生k次短缺的概率为

(5)

由此可知，在下一周期结束时刻t6，基层仓库i第j项备件的期望短缺数为

(6)

2.3 备件库存配置模型

常用的备件保障效能评价指标包括装备使用可用度、备件满足率和保障延误时间等。装备使用可用度描述了装备在实际使用时的可用性，综合考虑了维修和保障延误等影响因素，是评价保障效能的主要指标，其计算公式为

(7)

(8)

式中：Zj为第j项备件单车安装数；Ni为基层部队i的装备数量。

在下一周期末，所有基层部队组成的系统装备使用可用度则可表示为

(9)

此外，根据备件库存量和待接收备件数量的概率分布可计算出备件满足率。基层仓库i第j项备件在下一周期末的备件满足率为

(10)

则在下一周期末系统备件满足率为

(11)

备件库存配置的目标是在满足规定的装备使用可用度要求下，使总体备件保障费用最低。结合部队实际和本文研究重点，在此只考虑备件购置费用和备件运输费用两部分。设第j项备件单价为cj万元，则备件购置费用为

(12)

设保障周期时长为P，基地与基层i之间往返1次的备件运输费用为pi万元，则备件运输费用为

(13)

综合(12)式和(13)式，总体备件保障费用C=C1+C2. 因此，备件库存配置模型可描述为

(14)

式中：φ为设定的保障效能指标阈值。

3 模型求解算法

边际分析法是求解METRIC模型最常用的方法。与遗传算法等群智能优化算法相比，边际分析法过程简单、结果稳定，不会丢失最优解，在解空间规模不是特别大的情况下非常适用。因此，本文选用该方法对模型求解。

(14)式的决策变量是一个记录基地仓库和基层仓库各项备件库存量的二维矩阵:

(15)

利用边际分析法对模型进行求解的步骤如下：

1)初始化决策变量S=0；

2)通过不断迭代执行边际分析，在每一次迭代过程中，遍历决策变量矩阵的每一个位置，依次计算其边际效益值

(16)

式中：one(i,j)为与S结构相同且第i行第j列值为1、其他位置值为0的矩阵；

3)将最大的边际效益值max (Δij)所对应的决策变量S中位置Sij的值加1，即Sij=Sij+1；

4)根据(9)式计算系统装备使用可用度A. 若A≥φ，停止迭代，决策变量S所表示的即为最优备件配置方案；否则，返回步骤2继续迭代。

4 算例分析

设保障系统由1个基地和2个基层单位构成，某型主战坦克在2个基层单位的列装数量均为50辆。从该型坦克的小修备件中选取了3项典型可修复备件作为代表进行库存配置，备件相关参数设置如表1所示。备件在基层与基地之间往返一次的运费为p1=p2=1万元(参考铁路货运价格)。

表1 备件参数设置Tab.1 Parameter setting of spare parts

备件申请周期T分别取0.5 a、1.0 a、2.0 a，申请延误时间tD分别取0 a、0.1 a、0.2 a，保障周期P设为50 a，可用度约束设为φ=0.95，运行边际分析法进行求解，得到如表2所示的最佳备件库存配置方案。

由表2可见，相同条件下，申请延误时间越长，备件配置数量和费用就越多。相同条件下，随着申请周期的延长，备件配置数量和费用更多，但花费的运输费用更少。综合来看，当申请周期设为1.0 a时，总体保障费用最低。

表2 最佳备件配置方案Tab.2 Optimal spare parts allocation

显然，(T，S)库存策略可以减少备件运输频次，但会增加备件配置数量；而(S-1，S)库存策略可以减少备件配置数量，但会增加备件运输频率。由此可知，影响两种库存策略的主要因素是备件故障率和价格。因此，下面通过变化备件故障率和价格对本文提出的(T，S)库存策略和VARI-METRIC模型[2]中的(S-1，S)库存策略进行对比分析。备件故障率分别取表1中的故障率及其0.1倍，备件价格分别取表1中的备件价格及其5.0倍；(T，S)库存策略中取T=1.0 a、tD=0.1 a，(S-1，S)库存策略中备件在基地与基层单位之间往返1次的运费设定为0.3万元(参考地方物流价格)，得到两种库存策略下备件保障费用随保障周期变化情况如图3所示。

由图3(a)可知：当备件的基层故障率约在10件/a、价格约在1.5万元/件时，若保障周期小于10 a，则(S-1，S)库存策略更优，即保障费用更低；若保障周期大于10 a，则(T，S)库存策略更优。由图3(b)可知：保持故障率不变，价格提高5.0倍，若保障周期小于45 a，则(S-1，S)库存策略更优；若保障周期大于45 a，则(T，S)库存策略更优。由图3(c)和图3(d)可知，当备件的基层故障率小于1件/a、价格高于1.5万元/件时，(S-1，S)库存策略明显更优。

5 结论

本文结合部队实际情况，综合考虑报废率、申请延误等因素，建立了基于(T，S)库存策略的可修复备件两级库存最佳配置模型，并与当前主流的基于(S-1，S)库存策略的VARI-METRIC模型进行了对比分析。结果表明：

1)本文建立的模型能够有效解决(T，S)库存策略下可修复备件的两级库存配置问题。

2)当备件价格低于1.5万元、基层故障率大于10件/a时，达到同等保障效果采取(T，S)库存策略比(S-1，S)库存策略所需保障费用更少。

3)当备件价格高于1.5万元、基层故障率小于1件/a时，达到同等保障效果采取(S-1，S)库存策略比(T，S)库存策略所需保障费用更少。

4)本文研究内容对于提高部队可修复备件保障效益、完善可修复备件保障机制具有重要意义。