战斗部壳体爆炸破片体/线分形维数研究

杨云川， 朱建军， 郑宇， 李文彬， 王晓鸣， 乔相信， 李瑞

(1.沈阳理工大学 装备工程学院, 辽宁 沈阳 110159;2.南京理工大学 智能弹药技术国防重点学科实验室, 江苏 南京 210094)

0 引言

高应变率动态加载过程中材料断裂成大量小块的碎片属于一个非线性、不可逆和不确定现象，而与材料破碎相关的物理学分支具有悠久且丰富的历史，在武器行业、采矿业及制造业一直受到关注。而且在炸药爆炸瞬时加载下金属壳体材料内部结构的失效、断裂以及破碎一直是超高速科学的核心，特别是破碎形成破片过程一直受到军事各领域的密切关注[1-3]。早在1947年Mott[4]提出了数学统计模型来预测爆炸条件下金属壳体材料断裂内部卸载波传播过程，并建立了壳体爆炸破碎形成破片质量分布规律模型。随后Brown等[5]基于Weibull分布建立了金属壳体爆炸破碎模型：

M(m)=exp[-(m/me)λ],m>0,me,λ>0，

(1)

式中：λ为分布模数；m为破片质量；me为特征质量；M(m)为质量大于m的破片相对质量。Weibull分布可以广泛应用于金属壳体材料破碎形成破片尺寸分布中[6-7]，其揭示了指数形式或类指数形式(如Gamma分布和Weibull分布)的函数可以表示动态破碎下形成破片质量分布特征[8-9]，表明特征质量和特征尺寸存在一定关系。但由于破碎过程的随机性、多样性和复杂性，使得目前一系列数学模型很难给出参数的物理含义，只能定性分析金属壳体爆炸破碎分布规律，导致利用传统破碎理论来分析壳体破碎形成破片分布十分困难。虽然爆炸条件下金属壳体破碎过程是无规则且随机的，但其形成破片的分布具有相似性，这与分形理论中无规分形的统计自相似性概念十分相似[10]。

分形理论可用于描述欧氏几何无法描述的不规则现象和物体，Mandelbrot[11]针对海岸线长度的阐述而提出了分形概念。近30年来，分形理论在物理、化学、数学、生物、材料等领域获得了一批成果，成为人们研究满足无规分形自然现象的有力数学方法[12-15]。大量研究结果表明，破碎颗粒材料满足统计自相似，属于无规分形，不仅颗粒材料粒度分布可用分形维数表征，而且颗粒材料轮廓曲线亦可用分形维数表征[16-17]。对于爆炸条件下金属壳体破碎领域，有学者发现从分形角度而言破碎过程中破片的时间和空间分布遵守自型解规律，破片分布遵循的统计学可以用分形理论来表示[18-19]。但其仅仅验证了传统意义上爆炸破碎后形成破片尺寸分布的统计方法和分形统计方法是一致的，而对于分形理论是如何表征破片尺寸分布及形貌特征的研究较为少见。由于传统描述爆炸瞬时条件下金属壳体材料破碎特征的模型已无法满足材料科学和工程的发展需求，破片不规则形貌特征的表征一直无法用传统欧式几何进行描述，使得爆炸条件下金属壳体材料破碎领域的研究一直停滞不前。而分形理论的诞生，则为定量描述破片形状的复杂程度及破片材料的自身几何特性提供了一个新途径。

为了研究爆炸条件下金属壳体材料破碎形成破片尺寸分布特征和破片形貌特征之间关系，本文利用新的分形维数定义来研究破片分形破碎质量分布特征，结合MATLAB软件和壳体爆炸破碎性试验对破片质量分布特征和形貌特征进行研究，将体/线分形维数引入爆炸条件下金属壳体破碎研究中，从分形角度对壳体爆炸破碎形成破片特征进行分析，为后期爆炸条件下金属壳体破碎理论研究提供技术支持。

1 破片体/线分形维数测定数学模型

在金属壳体爆炸破碎过程中，目前包括Weibull分布、指数分布、正态分布等一系列指数分布形式基本均能表征壳体爆炸破碎形成破片质量分布规律[20-22]，而因爆炸的瞬时性以及破碎形成破片形状无规则性，使得目前针对形成破片的形状内部关系研究一直停滞不前。本文将分形基本理论和思想方法引入爆炸壳体破碎研究中，建立破片体/线分形维数测定模型，并将离散型随机变量转化成连续型随机变量，以解决金属壳体爆炸破碎过程中遇到的困难。

1.1 破片体分形维数测定数学模型

本文以双参数Weibull分布形式，即Rosin-Rammler分布形式来表征爆炸条件下金属壳体材料破碎形成破片质量分布规律，为表述方便，数学模型去正累积率形式：

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式中：M+为质量大于m的破片质量累积率。Rosin-Rammler分布中分布模数λ决定质量分布密度曲线的基本形状，特征质量与质量分布范围有关。

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(4)

与文献[23]中体分形维数测定数学模型相似，破片质量单位正累积率的变化率M+与单位质量的破片特征质量t的变化率呈正比，与t的分形测度呈反比，其微分方程形式为

(5)

式中：k为常数。对(5)式积分并将初始条件破片质量m=0时，破片单位正累积率M+=1代入，最终获得

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1.2 破片线分形维数测定数学模型

码尺法原理如图1[24]所示，图中Fmax为最大径，从边界上任一点S起始，以步长r为半径画弧，得到与边界轮廓的交点A，从A点开始画弧，得到点B，重复上述过程(点C，点D，…，点S)直到最后得到余量Cr，最终该轮廓的总周长可近似写为

L=Krα，

(7)

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2 炸药加载下壳体破碎性试验研究

2.1 试验布局

为了研究爆炸作用下壳体破碎形成破片形状特征，并验证分形理论能否在爆炸壳体破碎领域上应用，本文设计了壳体爆炸破碎性试验，试验壳体结构如图2所示。炸药装药为8701基压装混合炸药，长90 mm，直径50 mm，密度1.70 g/cm3，爆速8 545 m/s. 壳体材料选用45号钢，密度7.85 g/cm3，壳体壁厚6 mm，质量745.76 g. 起爆方式为圆筒一端中心起爆，为了便于雷管安置定位，在起爆端处安置雷管座。

2.2 试验结果及初步分析

采用网眼大小为0.1 mm×0.1 mm多层尼龙筛网过滤和磁铁吸拾等方法回收爆炸条件下壳体破碎形成破片，回收所得破片如图4所示。由图4可知形成破片形状极其不规则，但基本为长条形，破片长宽比大多数大于1.5.

使用精度为0.01 g天平对破片进行称量、计数，并对其进行分级处理。回收所得破片总质量为387.45 g，破片回收率88.0%，基本完全回收。试验值与理论值有所偏差的主要原因在于实际破碎过程中，壳体环向随机破碎形成破片尺寸大小不一，实际回收区域内的破片有所减少。另外，本文采用的筛网无法回收小于筛网孔洞的小破片，因此使得实际回收所得破片总质量小于理论值。由于质量在0.1 g以下破片形状较小，难以分辨，因此本文未对其进行统计，回收所得破片质量在0.1 g以上总质量为370.33 g，破片数目642个，壳体形成破片的质量范围和数量分布情况如表1所示。

表1 破片质量分布

试验获得的破片质量与相对数目分布规律如图5所示。由图5可见，破片质量相对累计数目分布规律呈指数形式变化，且变化斜率随着破片质量增大而先增大、后减小，最终趋于0. 表明爆炸条件下壳体破碎形成不规则形状的破片质量分布规律满足统计意义上的自相似性，可以用分形维数来表征。

3 破片体/线分形维数研究

3.1 破片体分形维数测量结果

为了获取用于描述壳体爆炸破碎形成破片质量或体积分布特性的体分形维数D3，本文采用Gauss-Newton法[25]对Rosin-Rammler分布函数进行拟合，即对(6)式中破片质量相对负累积分布函数进行拟合。以破片质量相对负累积表示的Rosin-Rammler分布函数为

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Gauss-Newton法是使数据与非线性方程之间的残差平方和最小的一种算法，关键在于利用泰勒级数展开，以一种线性形式近似地表示原非线性方程后，用最小二乘理论来计算参数新的估计值，并重复计算，直到求解过程收敛且小于一个设定的终止条件[26]。为减少迭代次数，本文采用插值法确定特征尺寸的迭代初值，用双对数拟合的破片质量分布模数作为迭代初值，即ln [-ln (1-M-)]=λlnm-λlnme，终止条件设为相对偏差同时小于10-6. 同时结合相关系数来描述拟合值与试验值之间相关程度，其相关系数计算公式[27]为

(10)

式中：Rss为回归平方和；Tss为残差平方和；n为破片总数。

对双对数法和Gauss-Newton法两种拟合方法进行对比，如表2所示为Rosin-Rammler 分布回归分析两种拟合方式特征参数结果。获得Gauss-Newton法所得分布结果相关系数高达0.995 7，说明本文提出的Gauss-Newton法所得结果与试验值吻合较好，而且基于MATLAB平台编制了拟合Rosin-Rammler破片分布函数的Gauss-Newton法迭代程序优于双对数拟合方法，有利于提高体分形维数的测量精度。由Gauss-Newton法计算得到破片特征质量me=1.466 9 g，破片平均体分形维数为2.385 9.

表2 破片质量Rosin-Rammler分布回归分析特征参数

图6为Gauss-Newton法所得破片质量负累积率与试验值对比结果。由图6可见，拟合所得曲线与试验曲线十分接近，只在破片质量较小以及较大处二者之间存在一定偏差，但整体上Gauss-Newton法所拟合结果能很好地描述爆炸条件下金属壳体破碎形成破片质量分布规律，同时表明基于Weibull分布形式的体分形维数模型可以准确地表明破片质量分布特征。

3.2 破片线分形维数测量结果

由于破片为三维结构，采用码尺法测量其线分形维数时所选取的外围轮廓多变，在爆炸条件下金属壳体破碎形成破片后会以一定速度(1 300～2 200 m/s)向四周飞散，而破片在飞散过程中飞行逐渐趋于稳定，将以其所受阻力最小的面在空气中飞行，即破片迎风面积。破片轮廓则与破片迎风面积存在相关性，在军事应用中具有重要的物理意义，可为准确计算常规武器威力提供重要参数，其是国内外军事研究中威力测试的一个十分重要科目。因此本文对实际破片轮廓进行研究，在应用码尺法测定破片轮廓的线分形维数时，需先获取破片轮廓坐标。如图7所示，针对单一破片图像轮廓坐标的获取，首先获取破片的二值化图像，并从图像采集的过程入手，编制从破片轮廓坐标的定位程序，通过查找周围像素信息，最终获取破片外围轮廓坐标。

3.3 破片体/线分形维数关系验证

表3 任意视图破片轮廓线分形维数计算部分结果

4 结论

1)基于分数形式体分形维数定义，本文首次提出了爆炸瞬时条件下金属壳体破碎后形成破片特征的体分形维数测定模型，并应用MATLAB软件中数学算法编制了拟合Rosin-Rammler粒度分布函数的Gauss-Newton法迭代程序，计算了破片平均体分形维数D3=2.385 9，相关系数高达0.995 7且大于传统双对数法拟合结果，表明Gauss-Newton法拟合结果优于双对数回归结果，爆炸条件下壳体破碎形成破片质量分布满足统计自相似性，可以利用体分形维数分布模型来表征。

2)利用码尺法测定了爆炸条件下壳体破碎形成破片飞散过程中实际破片随机视图轮廓线分形维数，分形特征一致，表明实际工程应用中可以利用实际破片随机面轮廓线分形维数来表示破片迎风面轮廓线分形维数，为研究破片特征提供了一种新的技术途径。

3)研究了爆炸条件下壳体破碎形成破片体/线分形维数关系，结果表明：针对本文所研究的破片质量分布特征和形貌特征，采用不同测定方法得到的体/线分形维数满足体/线分形维数关系D3+2D1=5，进一步地说明爆炸条件下壳体破碎形成破片特征可以利用分形理论来研究，为爆炸瞬时条件下壳体破碎形成破片特征研究奠定了理论基础。