数列极限不同求解方法及应用

摘 要：我们在学习数学分析这一基础学科时，始终伴随着极限思想。极限是数学分析的基石，是微积分的基础。掌握极限的相关概念、性质及求解方法是学好数学分析的基础和前提。求极限的题型多种多样，求极限的方法也各不相同，灵活掌握它们，可以使一些数学问题更加简单。所以本文总结了数列极限的定义、性质、存在的条件和一些求法，比如定义法、分步法等。希望本文能够对于学习数列极限的人有所帮助。

关键词：数列极限；求解方法；应用

数学分析里有很多概念，数列是其中较为常用的一个，也是解决众多数学问题必不可少的元素。尤其是数列极限更是一个非常重要的部分，从最基础的数列极限的求解，到数学建模里的应用，都需要我们进一步了解数列极限。学好极限知识能够帮助我们更好地理解和掌握数学分析相关知识。

一、数列极限的概念

设{an}是一个数列，a为定数。若对任给的正数的ε，总存在正整数N，使得当n>N时有|an-a|<ε，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作或者an→a（n→∞）。否则称数列{an}不收敛，或者称为发散数列[1]。

对于一个数列，当n→∞时，则也无限地趋近于0，那么我们就称数列为收敛数列。也就是说，当n的数值为∞时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以无限小.

二、收敛数列的性质

（1）唯一性。如果说一个数列是收敛数列的话，那么极限必然只有一个。

（2）有界性。收敛的数列必有界。

（3）保号性。设an是以a为极限的收敛数列，我们有：若a>0，则对；，N，使得当n>N时，有；若a<0，则对；，N，使得当n>N时，有。

（4）保序性。设数列{an}与{bn}收敛，若存在整数N0，使得当n>N0时有an≤bn，则有：.

（5）迫敛性。设三个数列{an}，{bn}和{cn}有1. an≤bn≤cn，（n=1，2，3…）； 2. 。这样的话{cn}一定是一个收敛的数列，而且能够知道这个数列的极限其实同样是a。

（6）可加、可乘性。设数列{an}，{bn}是收敛数列且， 则①；②；③，其中。

注意：bn为常数C时有。

三、数列极限的求法

（1）极限定义求法。按照定义来求极限是求数列极限最基础的方法，但是也有其局限性。这种方法适用已经可以看出极限值的情况，我们只是证明其就是所求数列的极限而已。

具体过程如下：设{xn}是数列，A为常数，对任意的正数ε，存在正数N，当n>N时，有|xn-A|<ε成立，则称{xn}以A为极限，或者{xn}收敛于A，记作。

需注意：N的取法并不唯一，N与ε的取值有关，由ε决定。

（2）极限运算法则法。其实虽然理论上来说定义法能够解决所有求极限的问题，但是为了实际运算的时候比较简单明了，也是为了能够减少出错的机会，要是能够知道一部分极限值的话，其实通过运算法则能够让这个求解的过程變得比较简单。

（3）夹逼准则求法。将所求极限的数列做适当的放大和缩小，如果放大和缩小后得到的变量的极限相等，那么原极限存在，并且等于此公共值。

（4）单调有界定理求法[2]。在我们想研究复杂一点的数列极限问题的时候，应该先考虑数列是否存在极限。如果存在的话，我们才能继续考虑如何求解数列的极限。那么如何能够确定数列极限的存在性呢？对于某一个具体的数列的极限，我们不可能把所有的实数验证一遍来看数列是不是存在极限。这个时候就可以通过单调有界定理进行提前判断。如果一个数列是单调的，并且是有界的，那么一定存在极限。

（5）函数极限法。我们已经知道，任何的一个数列都能够被看作是一个函数，所以数列的极限和函数的极限之间必定有某种特殊的关系。我们根据两者的定理就能够看出，数列极限也可以看做是函数在自变量趋于正无穷的时候的一种特殊情况。

四、数列极限的应用——求方程的数值解

是一个非常典型的无理数，那么我们想要做的是通过有理数实现对于的逼近过程，而且如果精确度有所要求的话，我们应该要怎么做才能够满足要求？可以看到我们能过把这个无理数当成是的正根。从而我们能够把通过有理数实现对于的逼近变成是求解方程。

我们对于上面的问题进行一般化阐述，也就是说任意a>0，想要通过有理数实现对于的逼近。现在我们知道x0>0是近似等于的，那么给出，这里面，不可能都大于或者都小于。也就是说应该位于这两个数中间。所以说我们可以推断和的差别更小，这样的话能够实现对于的更为精确的逼近。其实：

其实x0不管取什么值，x1都为过剩近似值。这样的话我们可以让x0为过剩近似值，所以就有。这样的话有。重复就有，其中。因为。所以。这样的话我们就能够实现对于的逼近。

回到最初的问题，还是看如何实现对于的逼近。第一步我们让，然后进行迭代，能够得到

这样我们就能够得到比较接近的方程的数值解。

五、结语

数列极限是数学分析中最为基础的概念之一，需要我们在学习的时候投注更多的精力。并且我们在具体学习中需注意到在一些求极限的题目中并不是对一种求解方法的应用，而有可能需要应用多种方法。我们要具体问题具体分析，活学活用。

参考文献：

[1]杨雄.数列极限的求解方法探讨[J].佛山科学技术学院学报（自然科学版），2018（1）：44-47.

[2]吴楠.单调有界定理和压缩映射定理在求解递推数列极限中的应用[J].考试周刊，2018（8）：66-67.

作者简介：林潘能（1990—），男，汉族，广东茂名人，本科，主要研究方向：数学与应用数学。