初中二次函数动点类问题研究

摘 要：二次函数不仅是初中阶段函数的升华，更是初中到高中数学知识衔接的一个重要桥梁。近些年的中考压轴题几乎全是以抛物线为载体的。对初中生而言，函数，尤其是二次函数是难点。这篇文章，总结了二次函数动点类问题的几种类型，利用“数形结合”这把金钥匙带领学生把图形中隐含的数量关系挖掘出来，运用形的特征来探索数的规律。

关键词：等腰三角形；平行四边形；相似三角形

二次函数动点类压轴题综合性强，数形兼备、解题方法多样化、充满思辨性，知识高度融合，着重考查学生综合运用知识的能力，研究问题分析问题解决问题的能力及调用数学模型和套路的整合能力，要求学生运用各种知识解题，思维需有广度和深度，且能用灵活的方法解题.以二次函数为背景的动点类问题通常有以下几种类型。

一、设点坐标法结合铅垂高求面积最大值

例1：如图1，抛物线解析式为D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标。

思路：易求A和M的坐标分别为（-3，0）（0，1），直线AM的解析式为y=x+1.由题意设点D的坐标为，则点F的坐标为，DF==，根据二次函数最值的求法来求线段DF的最大值。

例2：如图2，二次函数y=-x2+3x-2的图象与x轴交于点A，B，与y轴的交点是C。过点C作CE//x轴，与二次函数的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF//y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，?CHF与?HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积。

思路：?CHF与?HFE的底都是HF，高之和是CE=3

所以?CHF与?HFE的面积之和

要想求面积最大值，只需求HF最大值，接下来思路同例1。

二、因动点产生的等腰三角形问题

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三种情况。如果△ABC的∠A（的余弦值）确定，∠A的两边AB和AC可用含x的式子表示，就用几何法。

①下左图，如果AB=AC，直接列方程；②如下中图，如果BA=BC，那么；③如下右图，如果CA=CB，那么。代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。

若三角形的三个角都不确定，但三个顶点的坐标可用含x的式子表示，可根据两点间距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来。

例3：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm。如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s。连结PQ，设运动时间为t（s）（0

解：①如下左图，当AP=AQ时，5-t=t。解得。

②如下中图，当PA=PQ时，·解得。

③如下右图，当QA=QP时，·解得。

三、因动点产生的平行四边形问题

1.已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？

2.在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？

如上左图，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D。

如上右图，已知A（0，3），B（-2，0），C（3，1），如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？

点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C（3，1）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D（5，4）。

例4：如图4，二次函数y=-x2+x+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，写出满足条件的所有点E的坐标。

思路：①若BC为平行四边形的一边，且顶点是CBFE的顺序，则CB∥EF，因为F的纵坐标为0，所以可以从纵坐标的角度，B（4，0），C（0，2）从B到C上移2个单位，那么F到E也要上移2个单位，从而E的纵坐标是2，将y=2代入二次函数解析式得E的坐标为（3，2）。

若BC为平行四边形的一边，且顶点是CBEF的顺序，则CB∥FE，从B到C上移2个单位，那么E到F也要上移2个单位，从而E的纵坐标是-2，将y=-2代入二次函数解析式得E的坐标为（，-2）或（，-2）。

②若BC为平行四边形的一条对角线，则CE∥BF，∴yE=yC=2，∴点E的坐标为（3，2）。

综上所述：满足条件的点E的坐标为（3，2）、（，-2）、（，-2）。

四、因动点产生的相似三角形问题

最常用的解题理论，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。如果已知∠A=∠D，探求△ABC与△DEF相似，只需把夹∠A和∠D的两边表示出，按照对应边成比例，分和两种情况列方程。

例5：如图2，二次函数的图象与x轴交于点A，B与y轴的交点是C。若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与?ABC相似，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由。

思路：∠BAC<135°，如果点D在C的下方，那么∠BCD=135°，所以点D必定在C点的上方。经分析，°，要想△ABC与△BCD相似，则有或两种情况，算出CD=1或CD=8，从而D（0，-1）或D（0，6）。

通过以上分析可以看出解决二次函数动点类问题通常需要以下四种方法：①数形结合法，也就是需将题中的条件与图形或图象联系起来。②构造法，即利用作辅助线或者建立模型来解决问题。③分类讨论法，在题目的相关信息或条件不够具体明确时，应分多种情况求解。④转化法，即遇到不好解决的难点时，通过其它等价的量，转为已知的或易于解决的问题来解题。这些方法需要学生具備扎实、熟练的基础知识和基本技能，还要综合灵活运用，不能生搬硬套。教师应重点讲解经典题型，对经典题型进行多角度分析，使学生掌握二次函数的精髓，举一反三，做到讲解一道题，学生会一类题，这样才能事半功倍。

作者简介：胡静静（1990—），女，山东菏泽人，研究生，毕业于南京师范大学，二级教师，主要研究方向：基础数学。