诱导公式运用的"两步法"探索

檀富娥

摘 要：三角函数的诱导公式由于种类繁多，而且应用起来常常是结合起来综合考察，所以学生学习起来很容易出错。本文将摒弃公式的记忆和应用，结合日常的教学反思和推理论证，给出诱导公式"两步法"，即只需利用两个步骤解决问题。

关键词：象限角符号；相关锐角

一、前言

三角函数的诱导公式是高中数学三角函数部分的重要公式，目的是为了求任意角的三角函数值，其作用是将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。但由于诱导公式繁且多，在学习的过程中不仅记忆公式比较容易混淆，而且应用起来更是各种公式结合应用，增加难度。

二、两步法探索。我们来看看下列几组常用诱导公式：见图1-1。

认真观察诱导公式我们发现，前四组公式主要是符号的变化，角度是没有变的，第一组 ，第二组 ，第三组α与 –α，第四组 ，化简的角度都还是α的三角函数，不过符号可能有变化。而最后一组公式中 及 与 则增加了一个变化就是名称对应变了。所以我们归纳诱导公式的化简就完成两点就够了，第一是符号，第二是角，这个角只能是锐角，最后将两步结合就得到最终的结果。下面对此“两步法”进行阐述：

第一步：找象限，定符号

这一步骤我们可以解决三角函数的符号问题。我们求任意一个角的三角函数，那么角的象限已经固定下来了，因此我们可以通过寻找任意角的终边相同的角，将角的终边所在象限找到，那么最后的符号就决定了，我们可以叫它终极符号，不管中间经过多少次转化，这就是这个三角函数最后的符号，而且是唯一正确的符号。

比如，求sin（-390°），与-390°终边相同的角可以通过运算-390°+360°=-30°，是第四象限角，由三角函数在各象限的符号口诀我们可以知道，终极符号为负。常见的符号判断口诀第一种是：“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全是“-”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。还有一种是“ASCT”反Z。需要说明的是，在这些关于象限角符号的记忆法中，忽略了另外的三个三角函数cot，sec，csc ，这是因为这三个三角函数都是正弦，余弦，正切的倒数，跟这些三角函数的符号是一致的。

第二步：巧作差，找锐角

这一步我们来解决角的问题。由三角函数的定义，我们知道三角函数的值取决于角的终边上的点的坐标，假设角α为锐角，终边上的一点的坐标为P（x，y）。（如图1-2）

根据任意角的三角函数的定义，我们知道终边位于第一象限的角，即过点P（x，y），它的三角函数值就是锐角 的三角函数值， 由于对称的关系，上述不管哪个象限的角均与锐角α有关系，且他们的三角函数值除了符号正负不同，大小都与锐角α的三角函数相同，由于终极符号的问题我们在第一个问题中已经解决，所以现在只剩下大小的问题，不管角位于哪个象限，我们只需要找到这个与之相关的锐角α就可以了，我把它叫做相关锐角。通过上图，我们看到这个相关锐角α都是出现在x轴上下，也就是大小与180°或0°或360°相差的锐角，所以这个相关锐角α可以通过借用第一步的那个终边相同的角与180°或0°或360°比较所得的差值得到，且这个差值必须是锐角。

比如，求sin（-390°），在第一步我们找到的终边相同的角是-30°，与0°相比，差值是30°，则sin（-390°）最后的值与sin30°的值大小相同。结合以上两步，第一步符号为负，第二步，大小为 sin30°，则 sin（-390°）最后的化简结果为-sin30°。我们再将上述这两个步骤结合应用一下，再比如计算cos945°第一步：找象限，定符号。945°-360°*2=225°，则与945°边相同的角在第三象限，它的余弦值为“-”；第二步：找相关锐角。225°的这个角位于第三象限，在180°的下方，与180°相差的锐角是45°，则最终值的大小是cos45°；第三步：综合前两步。cos945°=-cos45°= 。在实际的教学中，如果遇到用弧度角表示的三角函数的计算，可以用弧度角的相关判断来表示，也可以先将弧度角转化成角度角表示，然后再进行计算。

三、“两步法”运用举例

现在，我们用这样的两个步骤来验证上述的几组诱导公式，将α看成锐角，这个就直接解决了我们上述方法的第二步，有关锐角大小的问题，我们只要看看符号，见图1-3.

我们通过象限符号和相关锐角的两个步骤得出的公式与常用的诱导公式是一致的。那么在日常的学习中，我们可以采用这种思考的方式来完成练习。比如：化简tan（3π-α）。第一步：找象限，定符号。（3π-α）-2π=π-α，位于第二象限，正切值为负；第二步，相关锐角就是α，则最终的化简结果为tan（3π-α）= -tanα。

最后，我们看看第五组诱导公式， 及 ，由观察我们得知，这组公式用的相比较的角是y轴上的角，除了名称要相应改变，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.，在符号和角的大小上面没有什么不同。由此我们得知，在诱导公式的化简中，终极符号可以通过象限确定后，在相关锐角的选择上，如果用的是x轴上的角（比如（180°，0°，360°，）来比较差值，则名称不用改变，如果用y轴上的角（比如90°，270°）来比较则需要将三角函数的名称做改变。

面对基础较差的中职学校学生，在教学中更要注重化繁为简，化难为易。本文所探讨“两步法”是有关三角函数诱导公式最简单和初步的应用，对于中职学校的学生而言，经过总结之后的方法容易入手，运用简单，方便掌握。教无定法，贵在得法。在教学中，用心发现，用心归纳，用心总结，这是一名教師应该具备的能力。