多因素影响下的地球天梯海上平台偏移范围分析

徐志良，杨小东，彭定强，董明成

(1.重庆大学教育部深空探测联合研究中心,重庆400044；2.重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆400044)

1 引言

人类随着对外太空探索的加快,需要在提高火箭运载能力之外,探究一种新的高效运输方式［1］。与传统太空运输方式相比,地球天梯具有高效、可靠、单次运输成本低等特点,受到国内外相关学者的关注与研究［2］。

稳定性研究一直是地球天梯研究的重点,建造环境、材料会影响天梯系统的静力平衡,从而影响系统的稳定性；同样地,通过动力学建模与分析,选择合适的爬升器爬升运动等降低系统振动水平也能提高系统的稳定性。P.Swan［3］等从动力学分析开始,分析了地球天梯建造环境。Pearson［4］推导出满足绳索张力要求的锥度方程,同时也指出为了维持天梯绳索的稳定,天梯建造材料需要非常大的比强度。基于碳纳米管优异的力学性能,Cohen［5］等建立了天梯系统集中质量简化模型,并通过受力分析计算出天梯绳索质量与横截面积,研究了绳索横向与纵向振动,为稳定性分析提供合理的动力学建模方法。在该模型基础上,他进一步分析了爬升器运动对绳索振动的影响［6］。 P.Williams［7］和 P.Woo［8］等基于动态优化思想,推导天梯系统简化动力学模型,研究了爬升器运动对系统振动的影响。P.Williams［7］发现通过调整爬升器爬升运动,可使天梯绳索与平衡锤振动降低。

综上所述,天梯系统稳定性研究主要包括地球天梯的建造环境、材料、动力学优化等方面,其中动力学优化主要局限于爬升器爬升运动优化。但海上平台偏移范围会严重影响地球天梯的稳定性与定位精度,而目前缺乏研究海上平台质量、绳索几何参数等因素对海上平台偏移范围的影响。本文考虑海平面风速、绳索几何参数、海上平台质量的影响,计算海上平台偏移范围,研究上述参数的影响,为未来地球天梯的设计分析提供参考。

2 天梯系统模型

2.1 天梯系统简化模型与动力学建模

地球天梯质点位于地球同步轨道［5-6］,在顶端设置有平衡锤［5］,底端与海上平台固连,由此可建立简化模型如图1所示。其中,mc是平衡锤质量,me是天梯爬升器质量,mb是海上平台的质量,A(s)是绳索微元横截面积,de是爬升器爬升高度,db是海上平台偏移的距离,α为绳索倾斜角度,FT是风载荷。根据拉格朗日方程,可建立天梯系统动力学方程如式(1)：

式中,Qi为系统广义力,qi为系统自由度,分别为de、db和α,K、P分别为系统的动能和势能。

通过拉格朗日方程即可得到天梯系统动力学方程组［5-8］,然而该系统动力学方程组是一个非线性方程组,计算难度大,需要对其进行线性化。爬升器一般设计规格为 0.8 t［6］,当绳索长度为1×105km、天梯绳索数目为100根时,根据文献［5］天梯系统元件质量求解公式可得天梯绳索与平衡锤的质量分别为1×105t和3×104t,爬升器质量远小于天梯绳索与平衡锤的质量,因此可忽略爬升器质量对海上平台和绳索振动的影响。考虑天梯绳索微角度变形,系统动力学方程组可简化为式(2) ～ (4)［5-6］：

其中,FT是风载荷,详细求解流程如2.2.1节所述,De为爬升器爬升运动,详见2.2.2节。其他参数详见文献［5-6］。

2.2 风载建模与爬升器爬升运动设定

2.2.1 海上平台周边风速与风载模型

天梯系统虽然一般建在风浪少、雷暴少的平静海域,但由于天梯绳索长度过长,海上平台附近风速与风向会导致海上平台偏移,从而影响海上平台的稳定与定位。风速分布模型主要分为瑞利模型与威布尔模型［9］,对于有着稳定风速的较平静海域,威布尔模型更接近实际［11］。本文采用威布尔模型来模拟海上平台附近海域整体风速统计规律［11］,模型分布函数如式(5)：

其中,k为形状参数；c为尺度参数；v为风速,与海平面相切,m/s。如果已知该海域风速均值与方差,可由式(6)～(7)估算威布尔模型的形状参数与尺度参数［10-11］：

其中,ρ为空气密度,kg/m3；r为叶片半径,m；Cp为风能利用系数；w为风机转速,rad/s。风载荷Fb为外载直接作用于海上平台。

2.2.2 爬升器爬升运动设定

文献［5-6］的研究表明,爬升器运动对海上平台和天梯绳索的弹性振动存在影响。一般地,爬升器上升运动主要分为加速段、匀速段和减速段［3］,最后在地球同步轨道停止爬升。考虑地球同步轨道高度,本文设爬升器高度De与时间存在式(9)所示关系：

其中,E(v)为风速均值,m/s；D(v)为风速方差,m2/s2；Γ为伽马函数。通过Matlab的威布尔分布随机数生成器wblrnd生成随机风速数据,对应采样时间点,即可得到风速的周期变化趋势［11］。

天梯系统多采用风力发电机吸收风能来维持海上平台的稳定,并降低风级对天梯系统的稳定与定位的影响［3］。本文基于威布尔分布的随机风速模型模拟时变载荷作为海上平台风力发电机的动力,风速转化的风载荷直接作用在风力发电机的叶片上,采用空气动力学理论［11-12］,则作用在单位叶片上的风载荷FT如式(8)：

其中,T1、T2、T3分别为爬升器加速段、匀速段、减速段周期时长。爬升器从地球表面爬到地球同步轨道耗时3天以上,时间太长,不利于计算分析,并且仿真时长对海上平台偏移范围影响微乎其微,为了简化运算,本文设定T1为93 s,T2为1000 s,T3为2000 s。

3 绳索几何参数、海上平台质量与风级的影响分析

将海上平台周边风速与风载模型、爬升器运动及文献［5］中的参数代入式(2)～式(4)并在Matlab中编程计算,即可获得海上平台偏移范围。本章主要研究绳索几何参数、海上平台质量与风级对平台偏移范围的影响。

3.1 风速与风向对偏移范围的影响

中国气象台于2001年下发《台风业务和服务规定》,将风力等级分为17级［13］。由于天梯系统海上平台一般设置在风浪小的海域,本文仿真的风力主要是第3、4、6级,平行于海平面,且方向分别为j坐标轴的正半轴方向(简称正向)与负半轴方向(简称负向)。海上平台偏移范围是系统动力学的重要指标,本节主要研究风速与风向对海上平台偏移范围的影响。

选取文献［11］的风力发电机设计参数,叶片半径为33 m,风力发电机转速为14.8 r/min,风密度为1.21 kg/m3,风能利用系数为0.55,海上平台质量为1×108kg,仿真结果如图2、表1所示。

表1显示,风速对海上平台偏移范围存在影响,风速增加会导致海上平台向原点移动,但不改变偏移范围幅值；风向改变会导致海上平台远离原点,但不改变偏移幅值；与下文3.2节不考虑风向与风速影响的仿真结果相比,可看出考虑风速与风向的影响会增大海上平台的偏移范围与幅值。

表1 风向与风速对海上平台偏移范围的影响Table 1 The influence of the wind speed and direction on the deviation range of offshore platform

3.2 绳索几何参数与海上平台质量对偏移范围的影响

本节研究不考虑风速与风向影响时系统关键参数对偏移范围的影响。将表2的参数代入式(2)～式(4)并经Matlab编程仿真可得海上平台偏移范围,结果如图3、图4和表3所示。

表2 仿真参数Table 2 Parameters of simulation

图3显示,海上平台质量对其偏移范围振荡期的影响较小；图4(b)表明,当 L0为8×107m时,振荡期0～376.7 s；当L0为1×108m时,绳索偏移范围较大,振荡期0～596.1 s；当L0为1.2×108m时,振荡期0～93 s。

表3 系统主要参数对海上平台偏移范围的影响Table 3 The influence of main parameters on the deviation range of offshore platform

表3显示,海上平台质量mb对海上平台偏移幅值存在影响,mb变化,偏移值的变化分别是0.59 km、0.53 km和0.55 km；绳索最大横截面积Am对海上平台偏移范围幅值存在影响,分别是0.72 km、0.48 km和0.56 km；绳索长度L0对海上平台偏移范围幅值存在影响,偏移范围分别是［－46.22 km,－46.61 km］、［－72.25 km,－72.80 km］和［－104.10 km,－104.80 km］,幅值是0.39 km、0.55 km和0.70 km。同时,通过对比表3的仿真结果,可进一步发现,合理选取绳索几何参数和海上平台质量有利于地球天梯稳定。

4 结论

1)基于以往天梯系统动力学模型,仿真发现风速与风向会增大海上平台的偏移范围与幅值。

2)绳索长度越长时,海上平台偏移越远,且偏移范围越宽；当Am＝20 mm2和mb＝1×108kg时,海上平台偏移范围最窄。