对于固定直杆的太阳影子长度变化测算模型

曾泽宇 黄昕蕾 张红洁

摘要：本文主要研究太阳照射已知条件下直杆的影子轨迹变化情况。在给定固定直杆的地理位置（即地理经度和地理纬度）、所处日期和所求时间范围的条件下，通过引入地学概念，太阳方位角与太阳高度角等定义，用几何方法建立固定直杆的太阳影子长度变化测定模型，并基于MATLAB求得该固定直杆的影子长度变化轨迹图。

关键词：太阳高度角；影子定位；MATLAB

1 前言

本文背景取自2015年全国大学生数学建模竞赛题A题，当已知一根3米高的直杆位于2015年10月22日北京时间9：00-15：00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒），试建立相应数学模型求取该直杆随时间变化的影子长度的变化曲线图。

2 问题分析

由于一年四季太阳赤纬角δ在运动中的任何时刻的具体值都是严格已知的，所以我们可以运用已有的物理模型来计算太阳赤纬角δ；再由太阳高度角公式计算当地太阳高度角hs，运用三角函数公式，得到数学模型，进而画出了l=3m高的直杆的太阳影子长度变化的曲线。在此问题中，我们建立了以经度、纬度、日期、时间为输入量，固定长度的杆在给定时间内影子的变化轨迹为输出量的模型[1]。

3模型建立

1、太阳高度角、方位角的计算

要求建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律。首先我们应明确太阳的天文运动规律相关的天文参数。计算太阳在天体运动中对于地球上某地的相对位置，是由该观测地点的地理纬度、季节（年、月、日）和时间3个因素来决定的。通常以地平坐标系以及赤道坐标系同时表示太阳的位置，即以太阳高度角hs、方位角As、太阳赤纬角δ以及太阳时角τ来表示[2]。

（1）日角

设日角为θ，且有

这里t又由两部分组成，即

式中N为积日，所谓积日，就是指日期在年内的顺序号。例如，1月1日其积日为1，平年12月31日的积日为365，闰年则为366，等等。

（2）时差E0

真正的太阳在黄道上的运动不是匀速的，而是时快时慢，因此，真太阳日的长短也就各不相同。但人们的实际生活需要均匀不变的时间单位，这就需要寻找一个假想的太阳，它以匀速的方式运行。这个假想的太阳就称为平太阳，其周日的持续时间称平太阳日，由此而来的小时称为平太阳时[3]。

平太阳时S是基本均匀的时间计量系统，与人们的生活息息相关。由于平太阳是假想的，无法进行实际观测，但它可以通过真太阳时 间接地求得，反之，也可以利用平太阳时来求真太阳时。为此，我们将其二者的差值定义为时差，以E0来表示，即

由于真正的太阳的周运动是不均匀的，因此，时差也在随时变化，但与地点无关，一年当中有4次为零，有4次达到极大。时差 表达式为：

（3）太阳位置

a.太阳赤纬角δ

地球绕太阳公转的轨道平面称黄道面，而地球的自转轴称极轴。极轴与黄道不是垂直相交，而是成66.5°角，并且这个角度在公转中一直保持不变。正是由于这一原因，形成了每日正午时刻太阳高度不同以及四季变迁的现象[4]。

由于太阳赤纬角δ在运动中的任何时刻的具体值都是严格已知的，则用表达式表示即为：

b.太阳高度角hs

对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。有太阳高度角的变化公式[5]：

c.太阳方位角As

太阳方位角即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角。

或

而影长L与杆l有关系式：

综上

4 模型求解

以直杆与地面的接触点为原点，以地面所在平面为坐标系平面建立坐标系。由题意，在2015年10月22日北京时间9：00-15：00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒），其中ψ=39.9072°，δ=-0.188°，在9≤t≤15的时间范围内，我们将数据导入MATLAB进行求解，得到l=3m高的直杆的太阳影子长度变化的曲线。

5 模型评价

在此模型中，在知道日期、时间、地理位置、杆长的条件下，求解直杆的太阳影子变化曲线。从该模型中，我们可主要采用的是公式带入法对问题建立函数关系式，来进行求解绘制图像。因为涉及到进度的问题，对太阳赤纬角的公式有了精度的改进，增加了模型的可信度。

参考文献：

[1].武琳，基于太阳陰影轨迹的经纬度估计技术研究，天津大学硕士学位论文，2010

[2].Imran N.JuneJo，HussanForoosh，Estimating Geo-temporal location of stationary cameras using shadow trajectories，in：Proceeding of the ECCV，2008，218～331

[3]. T. Horprasert，D. Hardwood， L.S. Davis，A statistical approach for real-time robust background subtraction and shadows detection ，in：Proceedings of the IEEE ICCV ，Frame Rate Workshop，1999，1～19

[4]. L. Petrovic，B. Fujito， L. Williams， A.Frinkelstin， Shadows for celanimation， in：Proceedings of the ACM SIGGRHPH，2000，511～516