构造法在高中数学解题中的应用

孙德贵　王志宏

摘 要 构造法在高中数学解题不但具有把问题由简化易、由繁化简、由抽象化具体的转化之功能，而且还有保证解答正确的保险功能，因此构造法是在高中数学中应用很广泛的一种解题方法。

关键词 高中数学；构造法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）07-0029-01

一、构造方程（组）

方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，是含有未知数的等式，通常在两者之间有一等号“=”。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程和二元二次方程等等。方程，作为高中数学的重要内容之一，他与数、式、函数等很多知识有着密切的联系。根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后根据方程的理论，往往使问题在新的关系下得以转化而获得解决。

例1：设a，b，c为实数，若（a+b）（a+b+c）<0，证明：（b-c）2>4a（a+b+c）

分析：要证不等式：（b-c）2>4a（a+b+c），我们联想到一元二次方程的根的判别式b2-4ac>0，因此我们可以构造二次函数f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），只要证得方程f（x）=0有两根或f（x）与x轴相交即可。

二、构造函数

函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f（x）。它包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。如果先定义映射的概念，那么可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。在求解某些数学问题的时侯，根据问题的条件，然后构思组合成一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决问题是一种很有效的手段。构造函数解决问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在应用过程当中，应该有目的，有意识的进行构造，始终要“盯住”要解决问题的目标。

例2：解方程 。

分析：注意到 与 具有相同的结构，令則原方程为 。我们只要证明 是奇函数且是单调函数，就能简单的解出此题。

三、构造反例

如果要说明一个命题是假命题，我们通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。根据反例的概念，我们在解高中数学题时，为了说明例题不真，只需要构造一个符合命题条件而结论真的特例即可。

例3：对一切实数 ，下面的不等式是否成立？

分析：为了说明 ，只要我们取一个特殊值，使 即可。

四、构造三角模型

数学和其它学科一样，要学以致用，“建模”思想就把数学这门高度抽象的基学科与实际生活紧密地联系在一起，在实际中渗透数学思想，把数学中的理论作为工作，充分发挥其作用，因而许多问题可通过构造模型来处理，将问题中的条件，数量关系，在已构造的模型上实现并得到解释，从而实现问题的证明，或转化为在所构造的模型上相应问题的证明。近年来，构造模型的方法越来越被重视，并成为高考中的一道独特的风景线。

例4：已知 ，求证： 。

分析：将条件转化为 。联想 ，由此构造三角模型，令 ，即①式 ，②式 .又①+②×2得

五、构造向量

在数学中我们把既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量就叫做向量，向量是近世代数中最重要也是最基本的数学概论之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一个重要工具，它有着极其丰富的实际应用背景。向量有大小也有方向，大小反应“数”的特征，方向反应“形”的特征。因此，向量是集数形与一身的数学感念。是数学中数形结合的思想体现，掌握好了向量知识，有意识的应用向量知识去解决相关的问题，不仅能优化解题思路，而且能培养学生的创新思维和发散思维。我们在求有些函数的最值问题中，例如出现含有两个或三个含有根式的和与差的形式，当我们使用平方法或者代替法不能有效去根号，在这种情况下，如果我们善于观察问题的结构特征，挖掘代数结构的向量模型，构造向量，把原有问题转换为向量问题，会产生事半功百的效果。

六、结论

在学习构造法时，只有不断总结，不断完善知识理论和结构，才能在解题思路中有所发现，有所创意。

参考文献：

[1]黄忠裕.中学数学思想方法专题讲座[M].成都：四川大学出版社，2006（11）：98-105.