基于数学模型下的双层玻璃窗保温分析

余秀玲

摘 要：近年来，中空玻璃逐渐占据市场，双层玻璃是中空玻璃的典型代表，应用十分广泛。分别对双层玻璃窗和单层玻璃窗建立数学模型，先提出模型的准备与假设，建立模型，再对模型进行求解与分析，解释了双层玻璃窗更加保温的特性。最后对模型的应用做出了说明，并对模型进行了分析与思考。

关键词：初等数学模型；双层玻璃窗；单层玻璃窗；分析

中图分类号：TB 文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2018.17.092

1 模型的准备与假设

北方地区冬季天气寒冷，建筑一般采用双层玻璃，近年来，南方的建筑也开始使用双层玻璃设计。很明显，双层玻璃的保温效果更佳，我国每年在建设围护部件总能耗方面，门窗能耗都要占其一半左右。因此目前双层玻璃广泛应用于各种方面，在改善人们生活质量和提高建筑节能水平方面都做出了巨大贡献，因此对双层玻璃进行研究与分析是十分重要的。对于双层玻璃窗的保温分析，可以采取初等数学模型进行分析，首先提出假设，对问题进行简化分析，使其基本符合模型。假设玻璃的材料均匀且热传导系数为一常数；玻璃的密封性能良好，即两层玻璃之间的空气是静止干燥、不流动的，无对流现象发生；忽略室内与室外的热量辐射问题，只考虑玻璃与空气的热量传导。

2 模型的建立

如图1所示，分别对双层玻璃窗和同材料的单层玻璃窗根据牛顿冷却定律建立模型，来描述室内与室外的热量传导过程。

已知牛顿冷却定律：对于两侧温度差为ΔT、厚度为d的均匀介质，温度高的一侧必然会向温度低的一侧进行热量传导，且单位时间内通过单位面积的热量ΔQ正比于ΔT，反比于d，即Q=kΔTd，k为热传导系数。

首先对双层玻璃建立模型，如上左图，设玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，根据牛顿冷却定律，可以得到室内到内侧玻璃流失的热量为Q1=k1T1-Tad，内侧玻璃到外侧玻璃流失的热量为Q2=k2Ta-Tbl，外侧玻璃到室外流失的热量为Q3=k1Tb-T2d。由于热量在传导过程中，忽略辐射与对流现象，则满足能量守恒定律，即室内到内侧玻璃流失的热量=内侧玻璃到外侧玻璃流失的热量=外侧玻璃到室外流失的热量。联立Q双=k1T1-Tad=k2Ta-Tbl=k1Tb-T2d，解得Q双=k1T1-T2d（s+2），其中s=pk1k2，p=ld。对单层玻璃建立模型，直接带入公式有Q单=k1T1-T22d。

3 模型的求解与分析

根据牛顿冷却定律分别对单层玻璃和双层玻璃建立了初等数学模型，现在来求解为什么双层玻璃更加保温的特性。根据上文，我们有Q双=k1T1-T2d（s+2），Q单=k1T1-T22d，那么Q双Q单=2dd（s+2）=2s+2<1，说明双玻璃流失的热量更小，即更加保温。由这个比值公式还可以进一步计算出双层玻璃在减少热量流失的效率，由s=pk1k2，查询相关文献资料得到常用玻璃的热传导系数为k1=4×10-3～8×10-3J/cm·s·kw·h，静止干燥的空气的热传导系数k2=2.5×10-4J/cm·s·kw·h，则k1k2=16～32，则取最保守的计算，Q双Q单max=18p+1，由此可得双层玻璃在减少热量损失的效率上只与P有关，即与l和d的比值有关。可做出Q双Q单随p变化的曲线，如图2所示。

由图可知，Q双Q单随着p逐渐减小，但减小速度先快后慢，在p等于4时，即l=4d时，曲线走向变得十分缓慢。令p=4，带入公式有Q双Q单=0.03，即说明双层玻璃窗较单层玻璃窗减少热量损失至少在97%以上。如果p值取的更大，效率并没有明显提高，反而使得双层玻璃的制作比较复杂，所以p没有必要取的很大。

4 模型的应用与思考

4.1 模型的应用

该模型在建筑维护部件上得到了广泛应用，相比于单层玻璃的成本和制作工艺上，虽然双层玻璃不仅成本高些，制作工艺也稍显复杂，但是双层玻璃能大量减少热量的损耗，给人们带来更加舒适便捷的生活。就上文的分析中，当l=4d时，至少能减少热量损失97%以上。这个结论常常用于建筑工业上，但是由于实际上，双层玻璃中的空气往往达不到理想状态，即完全干燥静止，所以k2一般会高于理论值，减少的热量损失总是小于97%。另外，仅仅通过双层玻璃来减少房间的热量损失是远远不够的，热量还会通过天花板、墙壁、地板等流失。

4.2 模型的思考

热量损失大量减少的原因在于空气的热传导系数很小，查阅资料可知，对于真空，热量的传递方式有三种：对流、传导、辐射。其中传导和对流是需要介质，热辐射是不需要介质的。因此，热量在真空中不可以传导，保温效果将会更好。那么为什么不将双层玻璃窗中的空气抽成真空或者近似真空呢？究其原因十分简单，因为当双层玻璃中的气体为空气时，玻璃层内外的壓强是一样的。而当把玻璃层的气体换成真空时，内外的压强不同，压力差将会比较大，如果遇到碰撞和大风，则很容易压碎，存在安全隐患问题。前面提出的假设中提到没有热辐射，但是实际生活中这是不可能，就算是双层真空玻璃杯，也会有热辐射，这也就解释了为什么装了热水的真空玻璃杯的外壁还是有热度的。

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]张文仲.夏热冬暖地区建筑玻璃幕墙节能研究[D].长沙：湖南农业大学，2015.

[3]吴春梅，郭险峰，赵勇，姜赫.双层玻璃窗热性能研究[J].现代商贸工业，2011，（22）.