数列精选9题

■本刊编辑部

1.数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn和1的等差中项,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=S3。

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

(2)设c=,数列{c}的前n项和nn为,证明:≤＜。

2.已知公差不为0的等差数列{an}中,a1=2,且a2+1,a4+1,a8+1成等比数列。

(1)求数列an{}的通项公式;

(2)设数列{}满足=,求适合方程的正整数n的值。

3.在数列an{}中,a1=1,当n≥2时anan-1=n。

(1)求数列an{}的通项公式an;

(2)在△ABC中,AB=,cosC=,求△ABC周长的最大值。

4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+an=1,数列{bn}满足bn=n。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{anbn}的前n项和Tn。

(1)求证:数列是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;

(2)求数列的前n项和是。

6.设数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,数列{bn}满足

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{bn}的前n项和Tn。

7.已知直线l的方程为3x-2y-1=0,数列{an}的前n项和为Sn,点(an,Sn)在直线l上。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2,数列{}的前n项和为Tn,求f(n)=(n∈N*)的最大值。

8.已知数列{an}满足an+1-2an=0且a3+2是a2,a4的等差中项,Sn是数列{an}的前n项和。

(1)求{an}的通项公式;

(2)若bn=anlog12an,Sn=b1+b2+b3+…+bn,求使Sn+n·2n+1＞62成立的正整数n的最小值。

9.已知数列{an}的前n项和为Sn,若2Sn=2n+1+λ(λ∈R)。

(1)若数列{an}为等比数列,求λ的值及数列{an}的通项公式;

(2)在(1)的条件下,若数列{bn}满足,求数列{b}的前nn项和的表达式。

参考答案

1.(1)因为an是Sn和1的等差中项,所以Sn=2an-1。

当n=1时,a1=S1=2a1-1,则a1=1。

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,即an=2an-1,故数列{an}是以a1=1为首项,2为公比的等比数列,则an=2n-1。

设{bn}的公差为d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,则d=2,bn=2n-1。

因n∈N*,则

所以Tn-Tn-1=,即数列{Tn}是一个递增数列,则≥=。

综上所述,≤＜。

2.(1)设等差数列{an}的公差为d,由a2+1,a4+1,a8+1成等比数列,得(3+3d)2=(3+d)(3+7d),解得d=3或d=0(舍)。

故an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。

3.(1)因a1=1,且当n≥2时,an-an-1=n。所以当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+

又=1满足上式,故

(2)由(1)得AB=a3=6,cos。由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,即36=(AC+BC)2-AC·BC。又AC·,所以36≥(AC+BC)2-(AC+BC)2,所以AC+BC≤6,所以周长=AB+AC+BC≤6+6(当且仅当AC=BC=33时取等号)。

故△ABC周长的最大值为6+6。

4.(1)当n=1时,2当n≥2时,2Sn+an=1,2Sn-1+an-1=1,两式相减可得2an+an-an-1=0

所以数列}是以为首项,为公比的等比数列。所以

故

5.(1)因为N*,所以

所以

所以数列为公比的等比数列。

所以

所以数列{an}的通项公式为an=

又2+4+6+…+2n=n2+n,所以Sn=(或写成其他等价形式)。

6.(1)n=1时,a1=S1=2。

所以an=Sn-Sn-1=2n(n≥2)。

所以数列an{}的通项公式为an=2n。

7.(1)由题意得3an-2Sn-1=0 ①,则3an+1-2Sn+1-1=0 ②,②-①得an+1=3an,所以数列{an}是公比为3的等比数列。

由3a1-2S1-1=0得a1=1,an=3n-1。

(2)由(1)知3an-2Sn-1=0,所以bn=

所以

所以。当且仅当n=,即n=4时等号成立,所以f(n)=maxf(4)=。

8.(1)因为an+1-2an=0,即an+1=2an,所以数列{an}是以2为公比的等比数列。

因为a3+2是a2,a4的等差中项,所以a2+a4=2a3+4,则2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2。

所以数列{an}的通项公式为an=2n。

(2)由(1)及bn=-anlog2an,得bn=-n·2n。由Sn=b1+b2+…+bn,得Sn=-2-2·22-3·23-4·24-n·2n①。

所以2Sn=-22-2·23-3·24-4·25-(n-1)·2n-n·2n+1②。

②-①得Sn=2+22+23+24+…+·2n+1=(1-n)·2n+1-2。

要使Sn+n·2n+1＞62成立,只需2n+1-2＞62成立,即2n+1＞64,得n＞5。

所以使Sn+n·2n+1＞62成立的正整数n的最小值为6。

9.(1)依题意,当n=1时,2S1=2a1=4+λ;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1。

因为数列{an}为等比数列,所以λ=-2,a1=1,公比q=2。故数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*)。

(2)依题意得log4(anan+1)=log4(2n-1·2n)=(2n-1)。

故

记数列{bn}的前n项和为Tn,故Tn=