关于LTI状态空间模型的参数估计分析

黄媚

摘 要：在信号系统中，线性时不变系统是很重要的组成部分。随着信号分析理论的不断完善，参数估计的相关研究越来越为人们所重视。为了推动信号系统的发展，人们正在展开关于线性时不变状态空间模型下的参数估计研究。在本文中，我们通过分析研究线性时不变状态空间模型的特点，探讨了在该空间模型下参数估计的方法。这些研究对促进线性时不变系统的相关研究和参数估计分析的发展有着重要的意义，有很好的现实价值。

关键词：线性时不变系统；空间模型；参数估计

引言

在现代信号与系统的研究中，LTI，即线性时不变系统是一个研究的重点部分。由于线性时不变系统同时满足叠加原理和时不变的特性，所以可以用单位脉冲响应来表示。因此，线性时不变系统的相关研究越来越受到人们的重视。

参数估计是现代数学与信号研究中的重要方法。随着相关理论的不断成熟，参数估计得到了越来越多的应用。为了促进线性时不变系统的相关研究，人们正在尝试着进行线性时不变状态空间模型下的参数估计分析研究。

本文拟通过分析线性时不变系统状态空间模型的特点，研究探讨适用于线性时不变状态空间模型下的参数估计方法。

一、LTI状态空间模型的特点

LTI系统又称为线性时不变系统，由于同时具有线性和是不变两个特性，LTI在信号分析与信号系统的相关研究中受到广泛的关注。其中最受关注的是线性时不变系统诸多特点的相关研究分析。

1.1齐次性

齐次性是线性时不变系统的一项重要属性。在信号系统中，當激励信号与相应信号具有相同的增长属性时，即可称为该系统具有齐次性。通过数学方法表示，在线性时不变系统中，如果系统激励信号为a（t），相应信号为b（t）时，我们输入为Aa（t）的激励信号，则输出信号必然为Ab（t），其中A为常数。

1.2叠加性

线性时不变系统是满足叠加原理的一种系统，即系统激励信号的线性叠加必然会引起输出信号的线性叠加。同样用数学方法表示，可以表示为系统激励信号a1（t）和a2（t）分别对应输出信号b1（t）和b2（t），则当激励信号变为a1（t）+a2（t）时，输出信号则为b1（t）+b2（t）。

1.3线性

线性是线性时不变系统的基本属性之一。线性变化是数学中函数变化的一项基本内容，如果将函数变化的变化率绘制成曲线图，变化率为一条直线的即可称为线性变化。在信号与系统中，线性是系统齐次性和叠加性共同作用后的变化表现。换句话说，线性时不变系统既具有激励信号与响应信号的齐次性，也满足两者之间的叠加性，即为线性。

1.4时不变性

时不变性是LTI系统的另一项基本属性，也是开展线性时不变系统各项研究的重要基础。在线性时不变系统中，激励信号所产生的响应信号是具有对应性的，而不会随时间变化。在不同时刻，激励信号所产生的响应信号也会有所不同。如果激励信号出现延迟现象，则对应的响应信号也会延迟。并且，所产生的波形并不会变化。

1.5微分性与积分性

微分与积分是个统一的概念。自从牛顿和莱布尼茨分别创立了微积分后，微积分在数学、物理等方面得到了广泛的应用。信号与系统的相关研究产生于数学，所以也具有很好的微积分性质。

在线性时不变系统中，我们一般根据系统激励信号与系统响应信号之间的对称关系称为系统的微分性与积分性。具体的应用主要集中在系统信号的计算中。由于微分性和积分性涉及到的数学概念比较复杂，我们在此不进行举例说明。

总体来说，线性时不变系统同时具有齐次性、叠加性、线性、时不变性、微分性和积分性六大特点。而这六个特点为参数估计方法的应用打下了坚实的基础。

二、参数估计的方法研究

参数估计是现代数学中广泛应用的一种研究方法，属于统计推断的一种。在数学领域中，参数估计主要是为了解决数学系统估计量和估计量精度的问题。由于参数估计的应用方法与线性时不变系统契合度很高，所以目前也被广泛应用到线性时不变系统的研究中。

2.1似然估计

似然估计是参数估计在线性时不变状态空间模型下应用最为广泛的一种研究方法。似然估计方法也被称为最大似然估计法，是19世纪中期提出的一种参数估计方法。经过多年的发展研究，似然估计法的应用已经相当成熟，成为当今应用最为广泛的一种参数估计方法。

似然估计法的基本步骤是通过样本抽取和计算，利用总体分布的规律推导相关参数。具体应用中，似然估计法要应用到似然函数，在对似然函数经过数学处理后（一般是指对似然函数采取对数处理，并经过数学运算整理），再利用微积分的理念求解似然函数。

前文我们提到，线性时不变系统有很好的微分性与积分性。因此，利用似然估计法对线性时不变状态空间模型下的参数进行估计备受人们重视。特别是似然估计法在应用上已经发展得比较成熟，对于线性时不变状态空间模型的参数估计精度的提高有很大的帮助。

2.2矩法估计

在线性时不变状态空间模型下参数估计应用最为广泛的另一种方法是矩法估计。矩法估计与似然估计法相同，需要从样本中抽取与计算一定数据，才能进行参数的估计运算。不同的是，矩法估计采用的是矩阵计算方法，重点应用到的数字特征是中心矩和原点矩。因此，矩法估计的计算精度要比其它参数估计方法低一些。要想提高参数估计精度，必须采用大容量的样本。计算成本会成倍增加。

不过计算机系统的应用和发展，为上述问题的解决提供了新的途径。凭借着计算机系统的数据处理能力，人们可以很方便地实现大容量样本的矩法估计。而这样，矩法估计的使用方便、应用面广的优势便体现了出来。

线性时不变系统的线性和时不变性，具有很强的逻辑性，与计算机系统的逻辑运算法有很大的相似点。因此，现阶段线性时不变状态空间模型下的参数估计越来越多地应用到矩法估计。通过计算机系统建立线性时不变状态空间模型，再利用计算机实现高精度的参数估计已经成为了现实。我们相信，未来的矩法估计会在线性时不变状态空间模型下的参数估计中发挥出更大的作用。

综上所述，从线性时不变系统的特点方面考虑，参数估计中的似然估计法和矩法估计是目前应用最为广泛的两种参数估计方法。而从发展的角度来看，矩法估计有着更好的发展前景。

结束语

线性时不变系统作为信号与系统研究应用中重要的组成部分，其相关的应用研究受到了人们的广泛重视。为了解决线性时不变状态空间模型下的参数估计，我们分析了线性时不变系统的六个特点，并从这两个特点出发，对目前应用最为广泛的似然估计法和矩法估计进行了相关研究，并对两者未来的发展进行了总结。这些研究对促进信号与系统的发展有着很好的帮助。

参考文献：

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[2] 崔本亮.线性时不变（LTI）系统分析方法讨论[J].现代电子技术，2009.

[3] 李卜娟.线性时不变系统响应的几种求解方法分析[J].江苏科技信息，2017.