与圆、圆锥曲线切线、切点弦有关的定点、定直线问题解法浅探

2018-08-08广东省广州市真光中学

中学数学杂志 2018年15期

☉广东省广州市真光中学杨兵

在数学解析几何的题型中，有许多题型是证明动直线过定点，动点在定直线上，其中有一类题型与圆及圆锥曲线的切线、切点弦有关，下面就探讨这一类问题的解法.

我们知道：过圆x2+y2=r2（r＞0）上任意一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，从圆x2+y2=r2（r＞0）外任意一点P（x0，y0）作圆的切线，切点弦方程为x0x+y0y=r2，两者形式一点P（x0，y0）作椭圆的切线所得切点弦方程，两者皆为意一点P（x0，y0）的切线方程，与从双曲b＞0）外任意一点P（x0，y0）作双曲线的切线所得切点弦方抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（x0，y0）的切线方程，与从抛物线y2=2px（p＞0）外任意一点P（x0，y0）作抛物线的切线所得切点弦方程，两者皆为y0y=p（x0+x）.若曲线外任意一点P（x0，y0）在定直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0，C≠0）上，则所作的切点弦所在直线过定点.下面以圆x2+y2=r2（r＞0）的切点弦所在直线为例给予证明.

证明：因为点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2（r＞0）外，所以过点P（x0，y0）向圆x2+y2=r2（r＞0）作切线，所得切点弦方程为x0x+y0y=r2. ① 又因为点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0，C≠0）上，所以Ax0+By0+C=0. ②直线与圆x2+y2=r2（r＞0）相交，在所得的弦的两端点处作圆的切线，两条切线的交点在定直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0，C≠0）上.同理，对于圆锥曲线也有上述相似的结论，对于椭圆，定点

图1

例1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，过点T（-2，t）（t∈R）作圆O：x2+y2=2的两条切线，切点分别为A，B.求证：直线AB过定点（与t无关）.

分析：根据圆的切点弦方程，得到直线AB的方程，再令变量t的系数为0，得出结论.

证明：根据圆的切点弦方程，得直线AB的方程为：-2x+ty=2，令y=0，得x=-1，所以直线AB过定点（-1，0）.

分析：先设出点P的坐标，根据椭圆的切点弦方程得到AB的方程，然后根据方程恒成立，令变量的系数为0，得出结论.

证明：如图2，由于点P在直线l：x-y-4=0上，设P（x0，x0-4），则根据椭圆的切点弦方程，得直线AB的方程为4（4y+3）=0.

图2

所以当点P在直线l上运动时，直线AB恒过定点

图3

分析：设出点P的坐标，根据双曲线的切点弦方程，得到直线AB的方程，再根据直线AB过定点M（3，1），得到关于点P坐标的方程.

解：设点P的坐标为（x′，y′），根据双曲线的切点弦方程，得直线AB的直线方程为点M（3，1）在直线AB上，所

所以点P的轨迹方程为2x-y-2=0.

（注：该直线上各点均在双曲线外，均符合题意）

例4 如图4，已知抛物线C：y2=4x和定点M（2，4），过点M的直线交抛物线C于点A、B，过点A、B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P，若△PAB的面积为28，求点P的坐标.

图4

分析：设出点P的坐标，根据抛物线的切点弦方程，得到直线AB的方程，再根据直线AB过点M（2，4），得到点P的坐标满足的条件，再根据△PAB的面积求出点P的坐标.

解：设点P（x0，y0），则根据抛物线的切点弦方程，得直线AB的方程为y0y=2（x0+x），即2x-y0y+2x0=0.因为直线AB过点M（2，4），则4-4y0+2x0=0，即x0=2y0-2，故点P（2y0-2，y0），直线AB的方程为2x-y0y+4y0-4=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），联立去x，得y2-2y0y+8y0-8=0，则Δ=4y02-32y0+32＞0，y1+y2=2y0，y1·y2=8y0-8，则线段AB的长度为|AB|=