伯特兰悖论解析

杜国平

(中国社会科学院 哲学研究所， 北京 100732)

伯特兰悖论自提出以来，受到了人们广泛的关注。本文不拟对相关研究进行综述和评论，而只是从问题本身出发，使用逻辑方法来分析问题本身的推理结构，并对悖论问题产生的根源进行纯粹理论的阐述，以期澄清某些哲学论争。

一、伯特兰悖论概述

伯特兰悖论是由法国数学家约瑟·路易斯·弗朗索瓦·伯特兰(Joseph Louis François Bertrand)于1889年提出的一个概率悖论[1]。该悖论的基本结构是：

对于问题“圆内任意一条弦，其弦长长于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？”伯特兰给出了3个不一致的答案[2]。

第1种解答：考察从圆上任意一点A出发的那些弦(见图1)。以A为一个顶点作圆内接等边三角形ABC。如果弦的另一端落在∠DAB或者∠EAC的区域内(包括B、C两点)，如弦AA1，则弦长并非长于该圆内接等边三角形的边长；如果弦的另一端落在∠BAC的区域内(不包括B、C两点)，如弦AA2，则弦长长于该圆内接等边三角形的边长。反之亦然。因为△ABC是等边三角形，∠BAC等于60°，所以弦长长于该圆内接等边三角形边长的概率是：

伯特兰悖论的基本结构是：考虑弦长长于圆内接等边三角形边长的概率，根据无差别原则，分别得出了3个不同的结论，而这3个结论是不一致的。

图1

图2

图3

伯特兰悖论所直接拷问的是主观概率的合理性问题。具体地说，它拷问的是主观概率无差别原则的合理性。无差别原则(the principle of indifference)指的是：对于某一条件下的若干种可能性，如果没有证据证明其中的某一种可能性比其他的可能性更大或者更小，那么我们赋予这些可能性以相同的概率[3]。伯特兰悖论的发现和提出，对使用无差别原则来确定主观概率的方法构成了一个极其严重的挑战。

二、伯特兰悖论的拓展示例

为了进一步凸显伯特兰悖论的特性，我们可以对伯特兰悖论加以更进一步的引申。

伯特兰悖论中提出的问题是：“在一个圆内任意拉一条弦，这条弦长于这个圆内接等边三角形边长的概率P(c)是多少？”对于这一问题，除了上述3种解答之外，我们还可以给出其他几种解答。

第5种解答，虽然角度与第4种解答有所不同，但是其结果是相同的。

类似地亦可考虑由弧AB形成的扇形面积的情况。

后面将进一步表明，按照上述思路，对于这一问题，任意值的概率都是可以给出的。

三、弦长与其相关变量之间的多项式关系

图4

1.弦AB的长度x与∠DAB度数θ之间的关系见图4。

不难看出，弦AB的长度x与∠DAB度数θ之间存在如下关系：

2.弦AB的长度x与以O为圆心、以弦中点到圆心距离为半径的圆面积S1之间的关系为：

3.弦AB的长度x与弦中点到圆心距离y之间的关系为：

4.弦AB的长度x与弦AB和弧AB(较短的一段弧)围成的封闭图形面积S2之间的关系为：

5.弦AB的长度x与弦AB和弧AB(较长的一段弧)围成的封闭图形面积S3之间的关系为：

四、多项式关系解析

如果我们将上述讨论归纳到表1中，则不难看出其中的一般性问题。

表1 弦长与其相关变量之间的多项式关系

弦长相关变量关系多项式(f(x))f (0)f (3r)f (2r)特征区间概率xxx03r2r(3r,2r]2-32x∠DAB度数θ arcsinx2r060°90°(60°,90°]13x弦中点所在圆面积π(r2-x24)πr2πr240[0,πr24)14x弦中点到圆心距离r2-x24rr20[0,r2)12x弦和弧围成的封闭图形面积aecsinx2r180πr2-x2r2-x240πr23-3r24πr22(πr23-3r24, πr22]2π+336π

注：(1)特征区间指的是弦AB的长度x长于内接等边三角形的边长时，关系多项式(f(x))的值域; (2)概率指的是弦AB的长度x长于内接等边三角形的边长时，相关变量的概率，而不只是弦AB的长度x长于内接等边三角形的边长的概率

对于与弦长x相关的变量f(x)，按照悖论构造的思路，其时得到的弦AB的长度长于内接等边三角形边长的概率是：

由此我们不难得到这一问题的任意概率值。例如如果相关变量为：

实际上，如果希望得到的概率值为n，只需其相关变量f(x)满足下列条件即可：

由此可见，伯特兰悖论是由不同的相关变量造成的。伯特兰在构造悖论的过程中，得出的不同概率只是不同的相关变量的概率，而不是弦长长于内接等边三角形边长的概率。

五、类伯特兰悖论及其解释

为了彰显伯特兰悖论的问题所在，可以构造如下的类伯特兰悖论。

问：落在O1内的数字币完全落在O2内的概率是多少？

由1、2、3可知，上述思想实验的结果形成了一个类伯特兰悖论。

S=πx2

六、结论

由前述讨论分析，我们可以得出如下结论：

因此由p得出矛盾，从而p不成立。这看似对无差别原则形成了质疑。

据此并不能由p得出矛盾。

因此，伯特兰悖论并不是一个悖论，它对无差别原则也并不能构成质疑。

2.对于定义域为[0,m]的变量x，当考察其特征域[n,m]的概率时，我们只能根据变量及其特征域自身的情况，依据无差别原则来进行考察，而不应将其相关的函数所对应的特征域及其在值域中的概率来进行变换。这是因为变换所得到的概率只是相应的函数的概率，而可能不是自变量原初的概率了。根据无差别原则，变量x本身的概率是唯一的。同样根据无差别原则，与变量相应的一个函数的概率也是唯一的；但是与变量相应的不同函数的概率可能是不同的，并且由于函数的不同，其各种值的概率都是可能的，具体概率值的多少是由函数的性质决定的[4]。

3.伯特兰悖论存在概念混淆的逻辑错误。其中，混淆了变量本身的概率和变量相应的函数的概率。

4.逻辑分析有助于厘清概念、明确判断，并进而分析推理结构、消解悖论。